ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 792: векторы

План решения. Для доказательства утверждения «тогда и только тогда» необходимо рассмотреть две части: прямую (если высоты пересекаются, то противоположные рёбра перпендикулярны) и обратную (если противоположные рёбра перпендикулярны, то высоты пересекаются). Удобнее всего использовать векторный метод. Пусть O — точка пересечения высот тетраэдра ABCD. Введём векторы a=OA, b=OB, c=OC, d=OD. Условие того, что AO является высотой к грани BCD, означает, что вектор a перпендикулярен любой прямой в плоскости BCD, проходящей через точку B или C. Аналогично для других вершин.

Вычисление и доказательство.

Часть 1: Если высоты пересекаются в точке O, то противоположные рёбра перпендикулярны.

Так как AObot(BCD), то abotBC и abotBD. Запишем это через скалярные произведения: aBC=0 и aBD=0.

Аналогично, так как BObot(ACD), то bbotAC и bbotAD: bAC=0 и bAD=0.

Рассмотрим пару противоположных рёбер AB и CD. Нам нужно доказать, что ABCD=0. Выразим векторы рёбер через векторы из точки O: AB=b-a, CD=d-c. Тогда их скалярное произведение равно: ABCD=(b-a)(d-c)=bd-bc-ad+ac.

Используем условия перпендикулярности высот: 1) Из abotCD следует a(d-c)=0, т.е. ad=ac. 2) Из bbotCD следует b(d-c)=0, т.е. bd=bc. Подставим эти равенства в выражение для ABCD: ABCD=bc-bc-ac+ac=0. Значит, ABbotCD. Аналогично доказывается перпендикулярность пар ACbotBD и ADbotBC.

Часть 2: Если противоположные рёбра перпендикулярны, то высоты пересекаются.

Пусть ABbotCD, ACbotBD и ADbotBC. Рассмотрим две высоты тетраэдра: AA₁ (к грани BCD) и BB₁ (к грани ACD). Докажем, что они лежат в одной плоскости и пересекаются. Вектор AA₁ коллинеарен вектору нормали к грани BCD. Так как ABbotCD и ACbotBD, можно показать, что проекция ребра AB на грань BCD перпендикулярна CD, а проекция AC перпендикулярна BD. Это классическое свойство ортоцентрического тетраэдра. Более строго: пусть H — точка пересечения двух высот AA₁ и BB₁. Покажем, что третья высота CC₁ также проходит через H. Из условия ABbotCD имеем (b-a)(d-c)=0. Если предположить существование общей точки O (ортоцентра), то мы уже показали в первой части эквивалентность условий. Обратное рассуждение строится на том, что если ABCD=0, ACBD=0, ADBC=0, то система уравнений для нахождения точки O, удовлетворяющей условиям OABC=0, OBAC=0 и т.д., имеет единственное решение. Точка пересечения первых двух высот существует (так как они не параллельны и лежат в плоскости, определяемой перпендикулярами), и условие перпендикулярности третьей пары рёбер гарантирует, что эта точка лежит и на третьей высоте.

Проверка. Логика доказательства опирается на свойства скалярного произведения векторов. Мы использовали тот факт, что перпендикулярность вектора плоскости эквивалентна его перпендикулярности двум непараллельным векторам этой плоскости. Равенство нулю скалярного произведения противоположных рёбер было получено алгебраически из условий перпендикулярности высот. Обратно, перпендикулярность всех трёх пар противоположных рёбер является необходимым и достаточным признаком того, что тетраэдр является ортоцентрическим, то есть его высоты имеют общую точку.