ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 796

План решения:

Чтобы найти множество центров сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую l, нужно использовать геометрические свойства перпендикуляра из центра шара на секущую плоскость. Центр любого сечения шара лежит в плоскости, которая проходит через центр шара и перпендикулярна данной прямой l. Далее необходимо определить границы этого множества, учитывая условие, что прямая не пересекает шар.

Вычисление и обоснование:

Пусть O — центр шара радиуса R. Рассмотрим произвольную плоскость β, проходящую через прямую l. Сечение шара этой плоскостью представляет собой круг (или точку, если плоскость касается шара). Центр этого круга, обозначим его M, является проекцией центра шара O на плоскость β. Следовательно, отрезок OM перпендикулярен плоскости β.

Так как плоскость β содержит прямую l, то перпендикуляр OM к плоскости β также перпендикулярен прямой l. Это означает, что точка M лежит в плоскости ρ, проходящей через центр шара O перпендикулярно прямой l.

Рассмотрим треугольник OMB, где B — основание перпендикуляра, опущенного из центра O на прямую l. Так как OMbotβ и OBbotl, а lbotρ (так как ρ перпендикулярна l), то угол OMB зависит от ориентации плоскости β. Однако более простой подход: все центры сечений лежат в плоскости ρ. Расстояние от точки M до точки B (проекция O на l) связано с расстоянием от O до l. Пусть d=OB — расстояние от центра шара до прямой l. По условию прямая не пересекает шар, значит d>R.

В прямоугольном треугольнике OMB (где угол при M прямой? Нет, OMbotβ, значит OMbotMB, так как MB лежит в β). Таким образом, △OMB прямоугольный с гипотенузой OB=d. Точка M движется так, что △OMB остается прямоугольным. Множество точек M, для которых угол OMB=90^o, лежит на сфере с диаметром OB. Но мы уже знаем, что M лежит в плоскости ρ. Пересечение сферы с диаметром OB и плоскости ρ дает окружность с диаметром OB.

Однако, не все точки этой окружности являются центрами реальных сечений. Плоскость должна пересекать шар. Расстояние от центра шара O до плоскости сечения равно длине отрезка OM. Чтобы сечение существовало (было непустым кругом или точкой), должно выполняться условие OM≤R.

Из прямоугольного треугольника OMB: OM²+MB²=OB²=d². Также OM — это расстояние от O до плоскости. Максимальное значение OM достигается, когда плоскость проходит через O (тогда OM=0, но это не верно для всех случаев). Давайте посмотрим на геометрию в плоскости ρ. В плоскости ρ точка O фиксирована, точка B фиксирована (B лежит на прямой l, но проекция O на l есть точка B. Wait, B лежит на прямой l. Плоскость ρ перпендикулярна l и проходит через O. Значит, пересечение ρ и l — это точка B. То есть B лежит в плоскости ρ.

Итак, в плоскости ρ у нас есть две точки: O (центр шара) и B (ближайшая точка прямой l к центру шара). Расстояние OB=d.

Центр сечения M лежит в плоскости ρ. Треугольник OMB прямоуголен в вершине M (так как OMbotβ и MBbotl? Нет. OMbotβ. Прямая l лежит в β. Значит OMbotl. Также OBbotl. Тогда l перпендикулярна плоскости OMB. Значит, угол OMB не обязательно прямой. Угол OMB прямой, если MBbotOM. Но OMbotβ, а MBβ. Значит OMbotMB. Да, угол OMB=90^o.

Следовательно, точка M лежит на окружности с диаметром OB в плоскости ρ.

Но должны ли мы учитывать ограничение OM≤R?

Да. Если OM>R, то плоскость не пересекает шар. Значит, множество центров — это часть окружности с диаметром OB, лежащая внутри шара (точнее, таких точек M, что расстояние OM≤R).

Так как d>R, то окружность с диаметром OB частично находится внутри шара, а частично снаружи. Границей служит окружность радиуса R с центром O.

Множество точек M удовлетворяет двум условиям: 1. M лежит на окружности с диаметром OB. 2. OM≤R.

Это дуга окружности с диаметром OB, расположенная внутри шара.

Проверка:

Если бы прямая касалась шара (d=R), то единственной точкой пересечения была бы сама точка касания, и множество свелось бы к одной точке. При d>R существует диапазон углов наклона плоскостей, дающих сечения. Геометрическая интерпретация подтверждает, что центры лежат на окружности, построенной на перпендикуляре из центра шара к прямой, как на диаметре, и отсекаются границей шара.