ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 800

План решения.

Для нахождения радиуса r маленьких шаров необходимо проанализировать взаимное расположение центров всех пяти сфер. Центры трёх попарно касающихся больших шаров образуют равносторонний треугольник со стороной 2R. Четвёртый большой шар касается двух из них; в силу симметрии задачи и условия касания верхних шаров тремя большими, будем считать, что конфигурация такова, что центры четырёх больших шаров лежат в одной плоскости (или их проекции на горизонтальную плоскость образуют квадрат/ромб, но классическая задача о «пирамиде» из шаров предполагает, что три шара стоят на столе, а четвёртый лежит сверху между ними, либо все четыре лежат на плоскости). Однако условие говорит: «На плоскости лежат четыре шара... три из них попарно касаются... четвёртый касается двух». Это описание расположения на горизонтальной поверхности. Верхние два шара радиуса r касаются друг друга и каждого из трёх больших шаров. Ключевой момент: какие именно три больших шара? Обычно в таких задачах подразумевается, что верхние шары опираются на три нижних, образующих устойчивую пирамиду, или же на три шара, лежащие на плоскости. Если три шара на плоскости попарно касаются, то их центры образуют равносторонний треугольник со стороной 2R. Четвёртый шар касается двух из них. Чтобы верхние шары касались трёх больших, они должны находиться над центроидом треугольника, образованного центрами этих трёх больших шаров. Но тогда зачем нужен четвёртый шар? Возможно, он участвует в формировании опорной площадки для верхних шаров, или условие подразумевает, что верхние шары касаются трёх конкретных больших шаров, которые могут быть не только теми, что лежат на плоскости в треугольнике, но и включают четвёртый. Давайте внимательно прочитаем: «каждый из них [верхних] касается трёх больших шаров». Три больших шара, попарно касающиеся друг друга, лежат на плоскости. Их центры O_1,O_2,O₃ образуют равносторонний треугольник со стороной 2R. Четвёртый шар O₄ касается двух из них, например O₁ и O₂. Его центр также лежит на плоскости (так как шары лежат на плоскости). Расстояние от центра O₄ до O₁ и O₂ равно 2R. Таким образом, O₁O₂O₄ — тоже равносторонний треугольник. Вся система из четырёх нижних шаров представляет собой ромб из центров со стороной 2R, состоящий из двух равносторонних треугольников. Верхние шары касаются друг друга и трёх больших. Какие три? Скорее всего, те, которые образуют «яму», в которую можно положить шар. Любые три шара из этой группы, чьи центры не коллинеарны, могут служить опорой. Однако, чтобы задача имела единственное решение вида r=3/3R, нужно рассмотреть стандартную конфигурацию: три шара на плоскости попарно касаются. Шар радиуса r, лежащий сверху и касающийся всех трёх, имеет центр, находящийся на высоте h над плоскостью. Расстояние от центра этого шара до центра любого большого шара равно R+r. Проекция центра малого шара на плоскость совпадает с центром описанной окружности вокруг треугольника центров больших шаров. Радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника со стороной a=2R равен ρ=a/3=2R/3. Высота центра малого шара над плоскостью: z=R+r-R=r? Нет, координата центра большого шара z=R. Координата центра малого шара z_small. Расстояние между центрами: (R+r)²=ρ²+(z_small-R)². Также малый шар касается плоскости? В условии сказано «положены сверху», обычно это значит, что они не обязательно касаются плоскости, а лежат на шарах. Но если они лежат на шарах, то их положение определяется касанием трёх шаров. Однако есть нюанс: «два шара меньшего радиуса... касающиеся друг друга». Если мы возьмём три шара на плоскости (O_1,O_2,O₃), то пространство над ними позволяет разместить один шар, касающийся всех трёх. Второй шар должен касаться первого и тех же трёх больших? Или других? Если каждый из верхних шаров касается одних и тех же трёх больших, то они оба находятся на вертикальной оси, проходящей через центроид треугольника O₁O₂O₃. Тогда они не могут касаться друг друга, так как будут лежать на одной прямой (вертикально друг над другом или совпадать). Значит, они касаются разных наборов трёх больших шаров. Рассмотрим четыре шара на плоскости. Их центры образуют ромб O₁O₂O₄O₃ (где O_1,O_2,O₃ — попарно касающиеся, O₄ касается O_1,O₂). Возможные тройки больших шаров: 1. O_1,O_2,O₃ (треугольник) 2. O_1,O_2,O₄ (треугольник) 3. O_1,O_3,O₄? O₁ касается O₃? Да, по условию три попарно. O₄ касается O₁. А O₄ касается O₃? Нет, только двух. Так что O_1,O_3,O₄ не являются попарно касающимися в смысле плотной упаковки, но геометрически центры образуют треугольник. 4. O_2,O_3,O₄. Верхний шар S_A касается тройки, скажем, O_1,O_2,O₃. Его центр C_A находится над центроидом G₁₂₃. Верхний шар S_B касается другой тройки, например, O_1,O_2,O₄. Его центр C_B находится над центроидом G₁₂₄. Шары S_A и S_B касаются друг друга. Расстояние C_AC_B=2r. Найдём координаты. Пусть плоскость xy. Радиусы больших R. Центры больших имеют z=R. Треугольник O₁O₂O₃: сторона 2R. Высота H_tri=R3. Расстояние от вершины до центроида d=2/3H_tri=2R3/3=2R/3. Это расстояние в горизонтальной плоскости от проекции центра малого шара до проекции центра большого. Уравнение связи радиусов для одного шара, касающегося трёх на плоскости: (R+r)²=d²+(z_C-R)². Здесь z_C — высота центра малого шара. Но нам нужно найти r. Есть ли ограничение на высоту? Малые шары просто «положены сверху». Они не обязаны касаться плоскости. Они определяются тем, что касаются трёх больших и друг друга. Однако, если они касаются только трёх больших, их положение фиксировано относительно этих трёх. То есть z_C определяется из геометрии пирамиды. Расстояние от центра малого шара до центра любого из трёх больших равно R+r. Горизонтальное смещение от центра малого до центра большого равно d=2R/3. Тогда вертикальное смещение Δz=(R+r)²-d². Координата z_C=R+Δz (если шар сверху) или R-Δz (если внутри ямы, но шары не пересекают плоскость, и rR. Значит z_C=R+(R+r)²-4R²/3. Теперь рассмотрим два таких шара. S_A над O₁O₂O₃. Проекция P_A — центроид △O₁O₂O₃. S_B над O₁O₂O₄. Проекция P_B — центроид △O₁O₂O₄. Оба треугольника равносторонние со стороной 2R. Они имеют общее основание O₁O₂. Центроиды P_A и P_B лежат на перпендикуляре к O₁O₂, проходящем через его середину. Расстояние от середины O₁O₂ до центроида P_A равно 1/3H_tri=1/3R3=R/3. Аналогично для P_B. Так как треугольники лежат по разные стороны от O₁O₂ (в ромбе O₁O₂O₄O₃), то P_A и P_B находятся на расстоянии 2·R/3=2R/3 друг от друга в горизонтальной плоскости. Высоты центров z_A и z_B одинаковы, так как конфигурация симметрична относительно плоскости, содержащей O₁O₂ и перпендикулярной плоскости столов? Нет, O₃ и O₄ симметричны относительно линии O₁O₂. Значит, z_A=z_B=Z. Расстояние между центрами S_A и S_B: L²=(x_A-x_B)²+(y_A-y_B)²+(z_A-z_B)². (z_A-z_B)=0. Горизонтальное расстояние D_horiz=|P_AP_B|=2R/3. Так как шары касаются друг друга, L=2r. Следовательно, (2r)²=(2R/3)². 4r²=4R²/3. r²=R²/3. r=R/3=3/3R. Проверим, согласуется ли это с высотой Z. Мы использовали только горизонтальное расстояние между проекциями. Это верно, если центры находятся на одной высоте. Это так, потому что оба шара касаются пар шаров, симметричных относительно общей оси. Нужно убедиться, что такие шары физически существуют, т.е. выражение под корнем для Δz положительно. (R+r)²-4R²/3>0. Подставим r=R/3. R²(1+1/3)²-4R²/3=R²(1+2/3+1/3)-4R²/3=R²(4/3+2/3)-4R²/3=2R²/3>0. Всё корректно. Вычисление. 1. Центры трёх попарно касающихся больших шаров O_1,O_2,O₃ образуют равносторонний треугольник со стороной a=2R. 2. Четвёртый шар O₄ касается O₁ и O₂, поэтому центры O_1,O_2,O₄ образуют второй равносторонний треугольник со стороной 2R, прилегающий к первому по стороне O₁O₂. 3. Первый маленький шар S₁ касается шаров O_1,O_2,O₃. Его центр C₁ проектируется в точку P₁ — центроид треугольника O₁O₂O₃. 4. Второй маленький шар S₂ касается шаров O_1,O_2,O₄ (выбор тройки обусловлен симметрией и возможностью касания S₁ и S₂). Его центр C₂ проектируется в точку P₂ — центроид треугольника O₁O₂O₄. 5. Так как треугольники O₁O₂O₃ и O₁O₂O₄ симметричны относительно прямой O₁O₂, точки P₁ и P₂ лежат на перпендикуляре к O₁O₂, проходящем через её середину M. 6. Расстояние от вершины до центроида в равностороннем треугольнике со стороной 2R равно 2R/3. Расстояние от середины стороны до центроида равно трети высоты: MP₁=MP₂=1/3·2R3/2=R3/3=R/3. 7. Горизонтальное расстояние между проекциями центров маленьких шаров: P₁P₂=MP₁+MP₂=2R/3. 8. Из симметрии следует, что центры C₁ и C₂ находятся на одной высоте над плоскостью, поэтому вертикальная составляющая расстояния между ними равна нулю. 9. Условие касания маленьких шаров: расстояние между их центрами равно сумме радиусов 2r. (2r)²=(P₁P₂)² 4r²=(2R/3)²=4R²/3 r²=R²/3impliesr=R/3=3/3R Проверка. Полученный ответ совпадает с ключом. Логика построения основана на том, что верхние шары занимают позиции над «долинами», образованными соседними тройками нижних шаров. Поскольку нижние шары лежат на плоскости, а верхние касаются трёх нижних, их центры фиксируются относительно соответствующих троек. Касание верхних шаров друг друга происходит в пространстве между двумя соседними «ямами». Расчёт горизонтального расстояния между центрами проекций является достаточным, так как высоты центров равны.