ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 804

План решения.

Рассмотрим тетраэдр ABCD. Пусть плоскость проходит через ребро AB и середину M противоположного ребра CD. Нам нужно доказать, что эта плоскость делит объём тетраэдра на две равные части. Для этого мы вычислим объёмы двух получившихся многогранников: пирамиды с основанием ACM и вершиной B, а также пирамиды с основанием ADM и вершиной B (или аналогично разбивая на другие комбинации). Удобнее всего сравнить объёмы тетраэдров ABCM и ABDM, так как их объединение составляет исходный тетраэдр ABCD, а пересечение — это общая грань ABM.

Вычисление.

Обозначим объём исходного тетраэдра ABCD через V. Вспомним формулу объёма тетраэдра: V=1/3S_осн ·h, где S_осн — площадь основания, а h — высота, опущенная из вершины на плоскость основания.

Рассмотрим два новых тетраэдра: ABCM и ABDM. 1. Тетраэдр ABCM можно представить как пирамиду с основанием BCM и вершиной A. Однако проще рассмотреть его как часть исходного тетраэдра ABCD. 2. Заметим, что точки C,M,D лежат на одной прямой (ребре CD), причём M — середина CD, то есть CM=MD=1/2CD. 3. Рассмотрим высоты, опущенные из вершины A на прямую CD. Обозначим эту высоту через h_A. Тогда площади треугольников ACM и ADM равны, так как они имеют общую высоту h_A и равные основания CM и MD: S_ACM=1/2CM·h_A, S_ADM=1/2MD·h_A. Поскольку CM=MD, то S_ACM=S_ADM. 4. Теперь рассмотрим объёмы тетраэдров B-ACM и B-ADM. Их можно рассматривать как пирамиды с основаниями ACM и ADM соответственно и общей вершиной B. Высота этих пирамид (h_B) — это расстояние от точки B до плоскости грани ACD. Так как основания лежат в одной плоскости ACD, высота одинакова для обоих случаев. 5. Следовательно, объёмы равны: V_B-ACM=1/3S_ACM·h_B, V_B-ADM=1/3S_ADM·h_B. Так как S_ACM=S_ADM, то V_B-ACM=V_B-ADM. 6. Объём тетраэдра ABCM равен V_B-ACM, а объём тетраэдра ABDM равен V_B-ADM. Таким образом, V_ABCM=V_ABDM.

Проверка и вывод.

Сумма объёмов V_ABCM и V_ABDM равна объёму исходного тетраэдра V_ABCD. Поскольку эти объёмы равны между собой, каждый из них составляет половину от общего объёма: V_ABCM=V_ABDM=1/2V_ABCD. Это доказывает утверждение задачи. Ключ «5 : 3» из раздела ответов не соответствует геометрическому смыслу данной теоремы о平分ении объёма пополам и, вероятно, относится к другой задаче или содержит ошибку; математическое доказательство однозначно указывает на отношение 1:1.