ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 808: параллелограмм

План доказательства:

Формула V=h/6(S₁+S₂+4S₃) является обобщением формулы Симпсона для объёмов тел с параллельными основаниями. Для многогранников, боковые грани которых являются трапециями, треугольниками или параллелограммами, площадь поперечного сечения S(x) на расстоянии x от одного из оснований является квадратичной функцией от x. Мы докажем это свойство для простейших случаев (пирамида и призма), а затем покажем, что линейная комбинация таких тел сохраняет квадратичную зависимость площади сечения, что позволяет применить интегральное исчисление или метод неопределённых коэффициентов.

Вычисление и обоснование:

1. Рассмотрим произвольный многогранник, удовлетворяющий условию задачи. Пусть высота многогранника равна h, а координата x меняется от 0 до h. Обозначим площадь сечения на высоте x как S(x).
2. Так как все боковые рёбра лежат в плоскостях, проходящих через соответствующие стороны оснований, то длины сторон сечения изменяются линейно относительно x. Следовательно, площадь любого многоугольного сечения, образованного пересечением этих плоскостей с горизонтальной плоскостью, зависит от квадратов линейных функций или их произведений. Таким образом, S(x) — это квадратичный многочлен вида: S(x)=ax²+bx+c где a,b,c — константы, определяемые геометрией тела.
3. Объём многогранника вычисляется интегрированием площади сечения по высоте: V=inth0S(x) dx=inth0(ax²+bx+c) dx Вычислим интеграл: V=[ax³/3+bx²/2+cx]h0=ah³/3+bh²/2+ch
4. Теперь выразим коэффициенты a,b,c через известные нам площади S_1,S_2,S₃.
   • При x=0 имеем одно из оснований: S(0)=c=S₁.
   • При x=h имеем другое основание: S(h)=ah²+bh+c=S₂.
   • При x=h/2 имеем среднее сечение: S(h/2)=ah²/4+bh/2+c=S₃.
5. Подставим эти значения в выражение для объёма. Нам нужно показать, что: ah³/3+bh²/2+ch=h/6(S₁+S₂+4S₃) Раскроем правую часть, подставляя S_1,S_2,S₃ через a,b,c,h: S₁=c S₂=ah²+bh+c 4S₃=4(ah²/4+bh/2+c)=ah²+2bh+4c Сумма в скобках: S₁+S₂+4S₃=c+(ah²+bh+c)+(ah²+2bh+4c)=2ah²+3bh+6c Умножаем на h/6: h/6(2ah²+3bh+6c)=2ah³/6+3bh²/6+6ch/6=ah³/3+bh²/2+ch Это в точности совпадает с вычисленным интегралом для V.

Проверка:

Проверим формулу на частных случаях:

• Призма: Если тело — призма, то S₁=S₂=S₃=S. Формула даёт V=h/6(S+S+4S)=h/6(6S)=Sh. Это верно.
• Пирамида: Пусть вершина пирамиды находится на высоте h над основанием площадью S₁, тогда S₂=0 (площадь верхнего основания вырождается в точку). Площадь среднего сечения S₃ подобна основанию с коэффициентом 1/2, значит S₃=S₁/4. Подставляем: V=h/6(S₁+0+4(S₁/4))=h/6(2S₁)=1/3S₁h. Это классическая формула объёма пирамиды.
• Усечённая пирамида: Для усечённой пирамиды с площадями оснований S_1,S₂ и высотой h известна формула V=h/3(S₁+S₂+S₁S₂). Проверим эквивалентность. В усечённой пирамиде S₃=S₁+S₂+2S₁S₂/4. Тогда 4S₃=S₁+S₂+2S₁S₂. Сумма S₁+S₂+4S₃=2S₁+2S₂+2S₁S₂=2(S₁+S₂+S₁S₂). Умножая на h/6, получаем h/3(S₁+S₂+S₁S₂). Совпадение подтверждает правильность вывода.