10–11 классы Вопросы к главе VII

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 811

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Ольга Кузнецова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 810 812 →

Условие

В конус вписан шар. Докажите, что отношение объёмов конуса и шара равно отношению площадей их полных поверхностей.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для доказательства утверждения необходимо выразить объёмы и площади полных поверхностей конуса и вписанного шара через их линейные размеры (радиус основания конуса R, высота конуса H и радиус шара r). Затем нужно найти связь между этими величинами, используя свойства осевого сечения конуса, и показать равенство двух отношений: V_кон/V_ш =S_{полн.кон}/S_полн.ш.

Вычисление и доказательство.

1. Запишем формулы для объёмов и площадей.

Объём конуса: V_к =1/3πR²H

Объём шара: V_ш =4/3πr³

Отношение объёмов:

V_к/V_ш =1/3πR²H/4/3πr³=R²H/4r³

Площадь полной поверхности конуса (S_к) равна сумме площади основания и боковой поверхности. Пусть l — образующая конуса (l=R²+H²).

S_к =πR²+πRl=πR(R+l)

Площадь полной поверхности шара (S_ш):

S_ш =4πr²

Отношение площадей:

S_к/S_ш =πR(R+l)/4πr²=R(R+l)/4r²

2. Найдём геометрическую связь между параметрами.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием 2R и высотой H. Шар вписан в конус, значит, его осевым сечением является круг, вписанный в этот треугольник. Радиус этого круга равен r.

Известная формула радиуса вписанной окружности в треугольник: r=S_тр/p, где S_тр — площадь треугольника, p — полупериметр.

Площадь осевого сечения: S_тр =1/2·2R·H=RH.

Полупериметр осевого сечения: p=2R+2l/2=R+l.

Следовательно:

r=RH/R+l ⇒ RH=r(R+l)

3. Подставим найденную связь в отношение объёмов.

У нас есть выражение для отношения объёмов: V_к/V_ш =R²H/4r³.

Заметим, что числитель можно представить как R·(RH). Используя равенство RH=r(R+l), получаем:

V_к/V_ш =R·[r(R+l)]/4r³=Rr(R+l)/4r³=R(R+l)/4r²

Теперь сравним это с отношением площадей, которое мы нашли ранее:

S_к/S_ш =R(R+l)/4r²

Проверка и вывод.

Мы получили идентичные выражения для отношения объёмов и отношения площадей полных поверхностей:

V_к/V_ш =R(R+l)/4r²=S_к/S_ш

Таким образом, утверждение доказано: отношение объёмов конуса и вписанного в него шара действительно равно отношению площадей их полных поверхностей.

Ответ

Доказано

В решении использованы стандартные формулы объёма и площади поверхности. Ключевой момент — использование связи радиуса вписанного шара с параметрами конуса через осевое сечение (r=RH/R+l), что позволяет преобразовать отношение объёмов к виду, совпадающему с отношением площадей.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 811 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 811?

Краткий ответ: Доказано.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Вопросы к главе VII.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.