ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 816: Описанный четырёхугольник

План решения.

Для доказательства того, что луч BA является биссектрисой угла CBE, необходимо показать равенство углов ∠CBA и ∠ABE. Мы воспользуемся свойствами вписанных углов, касательной к окружности и симметрией хорды относительно радиуса. Введем обозначения для дуг или углов, чтобы выразить искомые величины через них.

Ход доказательства.

1. Рассмотрим угол ∠CBA. Это вписанный угол, опирающийся на дугу AC. По теореме о вписанном угле: ∠CBA=1/2дуга AC.
2. Рассмотрим угол ∠ABE. Сторона BE — это часть касательной к окружности в точке B, а сторона BA — хорда. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной внутри этого угла. Таким образом: ∠ABE=1/2дуга AB.
3. Теперь проанализируем соотношение дуг AB и AC. По условию, радиус OA перпендикулярен хорде BC (OA⊥BC). Известное свойство геометрии гласит: если радиус (или диаметр) перпендикулярен хорде, то он делит эту хорду пополам и делит пополам стягиваемую ею дугу. Следовательно, точка A является серединой дуги BC. Это означает, что дуга AB равна дуге AC: дуга AB=дуга AC.
4. Подставим это равенство в выражения для углов из пунктов 1 и 2. Поскольку дуги равны, то и их половины равны: 1/2дуга AC=1/2дуга AB. Отсюда следует, что ∠CBA=∠ABE.

Проверка и вывод.

Мы доказали, что луч BA разбивает угол CBE на два равных угла. Луч BA лежит внутри угла CBE, так как точка A находится на дуге BC, не содержащей точку E (касательная выходит за пределы круга, а хорда BC отсекает сегмент, где лежит A). Следовательно, по определению биссектрисы, луч BA является биссектрисой угла CBE. Что и требовалось доказать.