ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 817: Описанный четырёхугольник

План решения.

Для доказательства параллельности прямых AA₁ и BB₁ воспользуемся свойством касательной к окружности в точке их касания. Пусть общая касательная к двум окружностям в точке M обозначается как прямая t. Нам нужно показать, что углы, образованные секущими с этой касательной, равны для обеих окружностей, либо использовать равенство соответственных или накрест лежащих углов при пересечении секущих с общей касательной. Однако более простой путь — рассмотреть треугольники, образованные хордами и радиусами, или использовать теорему об угле между касательной и хордой.

Рассмотрим угол β, который хорда MA (часть секущей AA₁) образует с общей касательной t в первой окружности. По теореме об угле между касательной и хордой, этот угол равен половине дуги MA, стягиваемой этим углом внутри первой окружности. Аналогично, пусть β₁ — угол между хордой MA₁ (частью той же секущей во второй окружности) и касательной t. Так как точки A,M,A₁ лежат на одной прямой, а M — точка касания окружностей, то геометрическая конфигурация симметрична относительно нормали к касательной, если окружности имеют разные радиусы, но ключевым является факт гомотетии.

Более строгий подход через подобие: Две окружности, касающиеся внешним образом в точке M, можно перевести друг в друга гомотетией с центром в точке M. При такой гомотетии любая прямая, проходящая через центр гомотетии (секущая AA₁), отображается сама на себя. Точка A переходит в точку A₁. Аналогично, точка B переходит в точку B₁. Поскольку гомотетия сохраняет направление векторов, отрезок AB отображается в отрезок A₁B₁, и они параллельны. Но нам нужно доказать параллельность самих секущих? Нет, условие говорит: «Докажите, что AA₁||BB₁». Это утверждение неверно в общем случае для произвольных секущих. Перечитаем условие внимательно: «Через эту точку проведены две секущие... Докажите, что AA₁||BB₁».

Здесь кроется подвох или опечатка в стандартной формулировке задач этого типа. Обычно доказывают, что AB||A₁B₁. Если же требуется доказать AA₁||BB₁, это возможно только если секущие параллельны, что противоречит тому, что они пересекаются в точке M. Следовательно, в условии задачи №817 по геометрии (Атанасян и др.) обычно требуется доказать параллельность хорд , соединяющих концы секущих, то есть AB||A₁B₁. Проверим стандартную задачу: «Две окружности касаются внешним образом в точке M. Через точку M проведены две секущие, пересекающие окружности в точках A,B и A_1,B₁. Докажите, что AB||A₁B₁».

Если же текст условия действительно требует доказать AA₁||BB₁, то это невозможно, так как AA₁ и BB₁ — это две различные прямые, пересекающиеся в точке M. Прямые не могут быть параллельны, если они имеют общую точку. Вероятнее всего, в условии подразумевается доказательство того, что отрезки, соединяющие соответствующие точки на разных окружностях, параллельны , то есть AB——A₁B₁. Или же речь идет о том, что проекции или другие элементы параллельны. Но исходя из строгого текста «AA₁||BB₁», где AA₁ и BB₁ — части секущих, проходящих через одну точку M, это утверждение ложно.

Однако, часто в таких задачах путают обозначения. Допустим, мы должны доказать, что AB||A₁B₁ . Это классическая задача. Давайте решим её, предполагая, что в условии допущена неточность записи, и имеется в виду параллельность хорд, соединяющих концы секущих. Если же условие дано буквально, то решение невозможно (прямые пересекаются). В школьной практике номер 817 обычно связан с доказательством AB||A₁B₁.

Вычисление (доказательство AB||A₁B₁).

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей. Проведем общую касательную l в точке M. Угол между хордой MA и касательной l равен углу, вписанному в первую окружность и опирающемуся на дугу MA. Обозначим его θ₁. Этот же угол вертикальный или смежный зависит от расположения. Рассмотрим треугольник MO₁A. Он равнобедренный (MO₁=O₁A=R₁). Угол при вершине M в треугольнике, образованным радиусом и хордой, равен 90^°-θ₁.

Используем свойство гомотетии. Гомотетия с центром M и коэффициентом k=R₂/R₁ переводит первую окружность во вторую. При этом точка A переходит в точку A₁, а точка B переходит в точку B₁. Следовательно, вектор MA₁=kMA и MB₁=kMB. Тогда вектор A₁B₁=MB₁-MA₁=k(MB-MA)=kAB. Из коллинеарности векторов A₁B₁ и AB следует, что прямые AB и A₁B₁ параллельны.

Проверка.

Если бы требовалось доказать AA₁||BB₁, то это означало бы, что секущие параллельны, что невозможно при их пересечении в M. Таким образом, корректным выводом для данной темы и номера является доказательство параллельности AB||A₁B₁ .