ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 822: Описанный четырёхугольник

План доказательства.

Чтобы доказать равенство отрезков NK=NM, достаточно показать, что треугольник KMN является равнобедренным с основанием KM. Для этого мы выразим углы при основании △KMN через углы в прямоугольных треугольниках, образованных касательной и хордой. Ключевым фактом здесь будет то, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, а также свойства вертикальных и смежных углов.

Ход решения.

1. Рассмотрим угол △OKA. Так как OA и OK — это радиусы одной окружности, то △OKA — равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: ∠OAK=∠OKA. Обозначим этот угол через α.
2. По условию прямая ON перпендикулярна OA. Значит, в прямоугольном треугольнике OAM (где M лежит на KA) сумма острых углов равна 90^°. Отсюда находим угол △AMO: ∠AMO=90^°-∠OAM=90^°-α.
3. Угол △NMK является вертикальным к углу △AMO, поэтому он равен ему: ∠NMK=∠AMO=90^°-α.
4. Теперь рассмотрим угол △MKN. Прямая KB является касательной к окружности в точке K, а OK — радиусом, проведенным в точку касания. По свойству касательной, OK⊥KB, то есть △OKB=90^°.
5. Угол △MKN (он же △BKN) можно найти как разность прямого угла △OKB и угла △OKA: ∠MKN=∠OKB-∠OKA=90^°-α.
6. Сравнивая результаты пунктов 3 и 5, получаем: ∠NMK=90^°-α и  ∠MKN=90^°-α.

Вывод.

Так как в треугольнике KMN два угла при основании (△NMK и △MKN) равны между собой, то этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Следовательно, NK=NM, что и требовалось доказать.