ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 819: Описанный четырёхугольник

План доказательства.

Доказательство состоит из двух частей: необходимости и достаточности. В обеих частях мы будем использовать свойство угла между касательной и хордой (теорема о вписанном угле). Пусть t — прямая, проходящая через точку M. Если окружности, описанные около △ABM и △MCD, имеют общую касательную в точке M, то эта касательная одна и та же для обеих окружностей. Нам нужно связать углы при этой касательной с углами треугольников и доказать равенство ∠AMD=∠ABM+∠MCD.

Часть 1. Необходимость (⇒).

Предположим, что ∠AMD=∠ABM+∠MCD. Проведем через точку M луч MK так, чтобы он лежал внутри угла ∠AMD. Обозначим ∠AMK=α и ∠KMD=β. Тогда ∠AMD=α+β. По условию α+β=∠ABM+∠MCD. Рассмотрим окружность, описанную около △ABM. Пусть луч MK является касательной к этой окружности в точке M. Согласно теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной MK и хордой MA равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из другой части окружности. То есть, если MK касается первой окружности, то ∠AMK=∠ABM. Значит, α=∠ABM. Подставив это в исходное равенство, получаем: ∠ABM+β=∠ABM+∠MCD, откуда следует β=∠MCD. Теперь рассмотрим вторую окружность, описанную около △MCD. Угол ∠KMD=β образован лучом MK и хордой MD. Так как β=∠MCD, а ∠MCD — это вписанный угол, опирающийся на хорду MD, то по обратной теореме об угле между касательной и хордой, луч MK является касательной и ко второй окружности в точке M. Таким образом, существует один луч MK, который является общей касательной к обеим окружностям в точке M.

Часть 2. Достаточность (⇐).

Предположим, что окружности, описанные около △ABM и △MCD, имеют общую касательную в точке M. Обозначим эту касательную прямой l. Пусть точка K лежит на луче l так, что она находится внутри вертикального угла к ∠BMC или соответствующим образом ориентирована относительно четырехугольника. Для определенности пусть луч MK проходит внутрь угла ∠AMD (это возможно, так как M внутри четырехугольника). По теореме об угле между касательной и хордой для первой окружности (около △ABM): угол между касательной MK и хордой MA равен вписанному углу ∠ABM. То есть ∠AMK=∠ABM. Для второй окружности (около △MCD): угол между той же касательной MK и хордой MD равен вписанному углу ∠MCD. То есть ∠KMD=∠MCD. Сумма этих углов составляет угол ∠AMD: ∠AMD=∠AMK+∠KMD. Подставляя найденные значения, получаем: ∠AMD=∠ABM+∠MCD. Что и требовалось доказать.

Проверка и вывод.

Мы доказали оба направления импликации. Ключевым моментом было использование свойства единственности касательной в данной точке к данной окружности и связи угла между касательной и хордой с вписанным углом. Ориентация луча касательной выбрана так, чтобы он лежал внутри угла ∠AMD, что согласуется с геометрическим расположением точки M внутри выпуклого четырехугольника (или общего случая, где сумма углов складывается аддитивно). Таким образом, утверждение верно.