ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 820: Описанный четырёхугольник

План решения.

Для доказательства того, что треугольник ABC равнобедренный, нам нужно показать равенство углов при основании (∠B=∠C) или равенство боковых сторон (AB=AC). Воспользуемся свойством касательных и секущих к окружности. Пусть точка касания со стороной AB обозначена как K, а со стороной AC — как L. Введем переменные для длин отрезков и выразим их через свойства касательных.

Вычисление и доказательство.

1. По условию, окружность касается сторон AB и AC. Согласно теореме о квадрате длины касательной (или степени точки), для вершины B справедливо соотношение: длина касательной в квадрате равна произведению секущей на её внешнюю часть. Однако здесь удобнее использовать другой подход, опираясь на равенство отрезков касательных, проведенных из одной точки.

2. Пусть радиус окружности равен R, а центр — O. Проведем перпендикуляры OK⊥AB и OL⊥AC. Тогда OK=OL=R. Треугольники OBK и OCL прямоугольные. Но это не самый прямой путь. Давайте воспользуемся методом сравнения отрезков на стороне BC.

3. Рассмотрим степени точек B и C относительно данной окружности. Степень точки B: так как BK — касательная, а BPQ — секущая, то BK²=BP·BQ. Степень точки C: так как CL — касательная, а CQP — секущая, то CL²=CQ·CP.

4. Из условия задачи известно, что BP=CQ. Обозначим эту длину за x. Пусть PQ=y. Тогда: BQ=BP+PQ=x+y CP=CQ+PQ=x+y Следовательно, BQ=CP.

5. Подставим полученные выражения в формулы степеней точек: BK²=x(x+y) CL²=x(x+y) Отсюда следует, что BK²=CL², а значит, BK=CL (так как длины положительны).

6. Теперь вспомним свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности. Для вершины A: AK=AL. Для вершин B и C мы только что доказали, что BK=CL.

7. Выразим стороны треугольника ABC: AB=AK+KB AC=AL+LC Так как AK=AL и KB=LC, то AB=AC.

Проверка и вывод.

Мы получили, что две стороны треугольника ABC равны между собой (AB=AC). По определению, треугольник с двумя равными сторонами является равнобедренным. Условие BP=CQ было ключевым для установления равенства произведений отрезков секущих, что привело к равенству длин касательных из вершин B и C. Логика последовательна и не противоречит геометрическим фактам.

Ответ: Треугольник ABC равнобедренный, так как AB=AC.