ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 826: Описанный четырёхугольник

План доказательства:

Чтобы доказать, что четыре точки A, B, A₁ и B₁ лежат на одной окружности, достаточно показать, что они являются вершинами описанного четырёхугольника. Критерий описанного четырёхугольника гласит: сумма длин противоположных сторон равна сумме длин других двух противоположных сторон (AB+A₁B₁=AA₁+BB₁ — это неверная трактовка для данного случая, так как стороны четырехугольника ABA₁B₁ — это AB, BA₁, A₁B₁, B₁A). Однако более простой путь в геометрии треугольников с высотами — использовать свойство прямоугольных треугольников, опирающихся на одну гипотенузу.

Рассмотрим отрезок AB. Так как AA₁ — высота, то △AA₁B является прямоугольным с прямым углом при вершине A₁. Аналогично, так как BB₁ — высота, то △AB₁B является прямоугольным с прямым углом при вершине B₁. В обоих случаях отрезок AB играет роль гипотенузы.

Вычисление и обоснование:

Известно геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом. Это окружность, построенная на данном отрезке как на диаметре.

1. В прямоугольном треугольнике AA₁B угол ∠AA₁B=90^°. Следовательно, точка A₁ лежит на окружности с диаметром AB.
2. В прямоугольном треугольнике AB₁B угол ∠AB₁B=90^°. Следовательно, точка B₁ также лежит на окружности с диаметром AB.
3. Концы диаметра A и B по определению принадлежат этой же окружности.

Таким образом, все четыре точки A, B, A₁ и B₁ равноудалены от середины отрезка AB (центра окружности) на расстояние, равное половине длины AB (радиусу).

Проверка:

Если бы треугольник был тупоугольным, основания высот могли бы лежать на продолжениях сторон, но углы ∠AA₁B и ∠AB₁B всё равно оставались бы прямыми (или смежными с ними, если рассматривать векторы, но в контексте окружности важен сам факт перпендикулярности лучей к основанию). Свойство «прямой угол опирается на диаметр» выполняется всегда. Значит, утверждение верно для любого треугольника ABC.