ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 829: Векторы в пространстве

План доказательства.

Пусть ABCD — вписанный четырёхугольник. Нам нужно доказать равенство: AC·BD=AB·CD+BC·AD Для этого воспользуемся методом подобия треугольников. Проведём диагональ BD и луч AE так, чтобы он пересекал диагональ BD в точке E, причём угол ∠BAE будет равен углу ∠CAD. Это построение позволит нам создать пару подобных треугольников, связанных с одной из сторон и частью диагонали.

Вычисление и логический вывод.

1. Рассмотрим треугольники △ABE и △ACD. - По построению ∠BAE=∠CAD. - Так как четырёхугольник вписан, то углы, опирающиеся на одну дугу BC, равны: ∠ABD=∠ACD (или ∠ABE=∠ACD). - Следовательно, △ABE∼△ACD по двум углам. - Из подобия следует пропорция: AB/AC=BE/CDimpliesAB·CD=AC·BE (·)

2. Теперь рассмотрим треугольники △ABC и △AED. - У нас есть равенство углов ∠BAE=∠CAD. Прибавим к обеим частям угол ∠EAC. Получим: ∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EACimplies∠BAC=∠EAD - Также углы, опирающиеся на дугу CD, равны: ∠BCA=∠ADB (или ∠BCA=∠ADE). - Следовательно, △ABC∼△AED по двум углам. - Из подобия следует пропорция: BC/ED=$AC/AD$impliesBC·$AD=AC$·ED (··)</p><p>3. Сложим полученные равенства $(·)$ и $(··)$:AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BE + AC \cdot EDВынесем общий множитель $AC$ за скобки:AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot (BE + ED)Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $BD$, то сумма длин $BE+ED$ равна длине всей диагонали $BD$. Таким образом, получаем итоговое равенство:AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BDЧто и требовалось доказать.</p><p><strong>Проверка.</strong></p><p>Рассмотрим частный случай — квадрат со стороной $a$. Диагонали квадрата равны $a2$, а стороны равны $a$. Левая часть теоремы (произведение диагоналей):AC \cdot BD = a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} = 2a^{2}Правая часть (сумма произведений противоположных сторон):AB \cdot CD + BC \cdot AD = a \cdot a + a \cdot a = a^{2} + a^{2} = 2a^{2}$$ Равенство выполняется, что подтверждает корректность вывода для данного случая.