ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 832: Векторы в пространстве

План доказательства.

Доказательство состоит из двух частей: необходимости и достаточности. Для наглядности рассмотрим выпуклый многоугольник A₁A₂…A_n и диагональ A₁A_k, которая делит его на два треугольника: T₁=A₁A₂…A_k (если это не треугольник, то рассматриваем часть многоугольника как сумму треугольников или просто используем свойство касательных для всей части) и T₂=A₁A_k…A_n. Однако в условии речь идет о двух треугольниках , образованных диагональю. Это означает, что мы рассматриваем случай, когда диагональ делит многоугольник ровно на два треугольника, то есть исходный многоугольник является четырехугольником (n=4). Если бы многоугольник был более сложным, диагональ делила бы его на многоугольники, а не только на треугольники. Следовательно, задача сводится к доказательству свойства для выпуклого четырехугольника.

Часть 1. Необходимость.

Пусть в выпуклый четырехугольник ABCD можно вписать окружность с центром O и радиусом r. Проведем диагональ AC. Она делит четырехугольник на два треугольника: △ABC и △ADC. Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами четырехугольника следующим образом: - K — точка касания со стороной AB, - L — точка касания со стороной BC, - M — точка касания со стороной CD, - N — точка касания со стороной DA. Из свойства отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем: AK=AN, BK=BL, CL=CM, DM=DN. Рассмотрим треугольник ABC. В него вписана та же самая окружность? Нет, окружность вписана в четырехугольник, но она касается сторон AB и BC. Значит, эта окружность является вневписанной или просто касающейся сторон? Уточним: если окружность вписана в четырехугольник, то она касается всех четырех сторон. Следовательно, она также касается сторон AB и BC треугольника ABC. Но чтобы окружность была вписанной в треугольник ABC, она должна касаться и третьей стороны AC. В общем случае вписанная в четырехугольник окружность не касается диагонали. Перечитаем условие внимательно: «окружности, вписанные в два треугольника... касаются этой диагонали в одной точке». Это значит, что мы берем отдельные вписанные окружности для каждого из двух треугольников, на которые диагональ разбивает четырехугольник. Пусть ω₁ — окружность, вписанная в △ABC, и ω₂ — окружность, вписанная в △ADC. Пусть P₁ — точка касания ω₁ с диагональю AC, а P₂ — точка касания ω₂ с диагональю AC. Нам нужно доказать, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то P₁ совпадает с P₂. Используем формулу для расстояния от вершины до точки касания вписанной окружности со стороной. Для треугольника ABC пусть стороны равны a=BC,b=AC,c=AB. Точка касания P₁ делит сторону AC так, что расстояние от вершины A до точки касания равно: AP₁=b+c-a/2=AC+AB-BC/2. Аналогично, для треугольника ADC пусть стороны равны d=AD,e=DC,f=AC. Точка касания P₂ делит сторону AC так, что расстояние от вершины A до точки касания равно: AP₂=f+d-e/2=AC+AD-DC/2. Если в четырехугольник ABCD можно вписать окружность, то выполняется равенство сумм противоположных сторон: AB+CD=BC+AD. Преобразуем это равенство, чтобы сравнить AP₁ и AP₂. Из условия вписанности выразим AB-BC=AD-CD. Подставим это в выражение для AP₁: AP₁=AC+(AB-BC)/2=AC+(AD-CD)/2. Сравниваем с AP₂: AP₂=AC+(AD-CD)/2. Видим, что AP₁=AP₂. Поскольку обе точки лежат на отрезке AC и находятся на одинаковом расстоянии от начала координат (вершины A), то P₁ и P₂ совпадают. Таким образом, окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются диагонали AC в одной точке.

Часть 2. Достаточность.

Пусть диагональ AC делит выпуклый четырехугольник ABCD на два треугольника △ABC и △ADC. Пусть вписанные в них окружности ω₁ и ω₂ касаются диагонали AC в одной точке P. Докажем, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. По условию, AP — расстояние от вершины A до точки касания вписанной окружности ω₁ со стороной AC в треугольнике ABC. По формуле выше: AP=AC+AB-BC/2. Также AP — расстояние от вершины A до точки касания вписанной окружности ω₂ со стороной AC в треугольнике ADC. Аналогично: AP=AC+AD-DC/2. Приравняем правые части: AC+AB-BC/2=AC+AD-DC/2. Умножим на 2 и сократим AC: AB-BC=AD-DC. Перенесем слагаемые: AB+DC=AD+BC. Это равенство гласит, что суммы длин противоположных сторон четырехугольника ABCD равны. Согласно теореме Пито (и обратной к ней для выпуклых четырехугольников), если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Проверка и вывод.

Мы доказали оба направления утверждения для случая, когда диагональ делит многоугольник на два треугольника (то есть для четырехугольника). Если бы многоугольник имел больше 4 вершин, диагональ не могла бы разделить его строго на два треугольника (она бы отсекла один треугольник и остальную часть, являющуюся многоугольником с числом вершин ≥3). Поэтому условие задачи корректно интерпретируется именно для четырехугольников. Логика опирается на стандартные формулы для точек касания вписанных окружностей и критерий вписанности четырехугольника. Ошибок в алгебраических преобразованиях нет.