ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 833: Векторы в пространстве

План решения.

Для доказательства утверждения необходимо использовать два ключевых факта: формулу площади трапеции и свойство описанного около окружности четырёхугольника. Обозначим основания прямоугольной трапеции через a и b, а высоту — через h. Нам нужно показать, что S=ab.

Вычисление и доказательство.

1. Запишем формулу площади трапеции:

2. Воспользуемся свойством описанного четырёхугольника (в данном случае трапеции). Суммы противоположных сторон равны. Пусть боковые стороны трапеции равны c и d. Тогда:

3. Так как трапеция прямоугольная , одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой. Обозначим эту сторону как h. Значит, c=h (или d=h, это не важно для суммы).

4. Рассмотрим вторую боковую сторону d. Опустим перпендикуляр из вершины тупого угла на большее основание. Получим прямоугольный треугольник с катетами h и |a-b| и гипотенузой d. По теореме Пифагора:

5. Вернёмся к равенству сумм противоположных сторон a+b=h+d. Отсюда выразим d:

6. Подставим это выражение в уравнение из пункта 4:

Раскроем скобки слева, используя формулу квадрата разности (x-y)²=x²-2xy+y², где x=a+b и y=h:

Сократим h² с обеих сторон:

Перенесём член с h в правую часть, а квадрат разности в левую:

Вспомним формулу разности квадратов или раскроем скобки в левой части:

Таким образом, получаем равенство:

Разделим обе части на 2:

Отсюда выразим произведение оснований:

7. Сравнивая это с формулой площади из пункта 1 (S=a+b/2·h), делаем вывод:

Проверка.

Рассмотрим частный случай — квадрат со стороной x. Он является прямоугольной трапецией, описанной около окружности. Основания a=x,b=x. Площадь S=x². Произведение оснований ab=x·x=x². Равенство выполняется. Утверждение доказано.