ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 838: Теорема о биссектрисе треугольника

План решения.

Для пункта а) воспользуемся свойством биссектрисы и теоремой о делении стороны треугольника. Точка O — центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис). Отношение отрезков биссектрисы, на которые её делит точка пересечения с другими биссектрисами, можно найти через площади треугольников или используя параллельные прямые, как указано в подсказке. Для пунктов б), в) и г) будем использовать полученные формулы из пункта а).

Вычисление и доказательства.

а) Найдите отношения AO/OA₁, BO/OB₁, CO/OC₁.

Рассмотрим отношение AO/OA₁. Проведём через точку A₁ прямую, параллельную биссектрисе BB₁, которая пересекает сторону AC в точке D. По теореме Фалеса (или подобию треугольников △AOBbacksim△A₁DB? Нет, проще через площади или стандартное свойство центра тяжести для медиан, но здесь биссектрисы).

Используем известный факт: если биссектриса AA₁ пересекается с биссектрисой BB₁ в точке O, то AO/OA₁=(AB+AC)/BC. Докажем это кратко через площади. Пусть S_ABC=S. Тогда S_ABO/S_CBO=AB/CB=c/a (так как высоты к сторонам c и a равны радиусу r). Также S_ABO/S_ACO=c/b. Суммарная площадь S_ABO+S_BCO+S_CAO=S.

Более прямой путь по подсказке: Проведем A₁D∥BB₁, $ D \binom{}{} AC . В\triangle CBB_1отрезок A_1D отсекает пропорциональные части. Но проще использовать формулу для длины биссектрисы или векторный метод. Однако, школьный метод: Рассмотрим\triangle AA_1C и секущую BO . По теореме Менелая для\triangle AA_1C и прямой B-O-B₁? Нет, B не лежит на сторонах.</p><p>Воспользуемся свойством:\frac{AO}{OA_1} = \frac{(b+c)}{a}. Аналогично, циклически меняя буквы, получаем:</p>AO/OA₁=b+c/a, BO/OB₁=c+a/b, CO/OC₁=a+b/c</p><p><em>б) Докажите равенства.</em></p><p>Заметим, что\frac{AO}{AA_1} = \frac{AO}{AO+OA_1} = \frac{1}{1 + \frac{OA_1}{AO}} = \frac{1}{1 + \frac{a}{b+c}} = \frac{b+c}{a+b+c}.</p><p>Аналогично:\frac{BO}{BB_1} = \frac{c+a}{a+b+c}и\frac{CO}{CC_1} = \frac{a+b}{a+b+c}.</p><p>Сложим эти три выражения:</p>AO/AA₁+BO/BB₁+CO/CC₁=(b+c)+(c+a)+(a+b)/a+b+c=2(a+b+c)/a+b+c=2</p><p>Первое равенство доказано.</p><p>Теперь рассмотрим вторые части биссектрис:\frac{AO_1}{OA_1}? В условии написано\frac{AO_1}{OA_1}, но скорее всего опечатка в индексе, имеется в виду\frac{OA_1}{AO}или сумма обратных величин? Проверим условие:"\frac{AO_1}{OA_1} + ... = 1". Если O лежит на AA_1, то A, O, A_1коллинеарны. Вероятно, имелось в виду\frac{OA_1}{AA_1} + \frac{OB_1}{BB_1} + \frac{OC_1}{CC_1} = 1.</p><p>Найдем\frac{OA_1}{AA_1}. Так как\frac{AO}{AA_1} = \frac{b+c}{a+b+c}, то\frac{OA_1}{AA_1} = 1 - \frac{AO}{AA_1} = 1 - \frac{b+c}{a+b+c} = \frac{a}{a+b+c}.</p><p>Аналогично:\frac{OB_1}{BB_1} = \frac{b}{a+b+c}и\frac{OC_1}{CC_1} = \frac{c}{a+b+c}.</p><p>Сумма:</p>OA₁/AA₁+OB₁/BB₁+OC₁/CC₁=a+b+c/a+b+c=1</p><p>Если же в условии буквально\frac{AO_1}{OA_1}, где O_1— проекция? Нет, O — точка пересечения. Скорее всего, в тексте задания опечатка в обозначении отрезков, и речь идет о долях длин биссектрис, приходящихся на нижнюю часть ( OA_1). Или же сумма отношений\frac{OA_1}{AO} + \dots ? Давайте проверим сумму\frac{OA_1}{AO}. Из п. а)\frac{OA_1}{AO} = \frac{a}{b+c}. Сумма\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}не равна 1 в общем случае. Следовательно, второе равенство относится к сумме долей всей длины биссектрисы:\frac{OA_1}{AA_1} + \frac{OB_1}{BB_1} + \frac{OC_1}{CC_1} = 1.</p><p><em>в) Может ли хотя бы одна из биссектрис делиться точкойO пополам?</em></p><p>Пусть биссектрисаAA_1делится точкой O пополам, т.е. AO = OA_1. Тогда отношение\frac{AO}{OA_1} = 1.</p><p>Подставим в формулу из пункта а):</p>b+c/a=1impliesb+c=a</p><p>Но по неравенству треугольника сумма двух сторон должна быть строго больше третьей стороны (b+c > a ). Равенство возможно только в вырожденном треугольнике (когда вершины лежат на одной прямой), что противоречит определению треугольника. Значит, такое невозможно.</p><p>Ответ: Нет.</p><p><em>г) Докажите условие деления в отношении 2:1.</em></p><p>Пусть биссектрисаAA_1делится точкой O в отношении2:1, считая от вершины A . Это значит, что AO : OA_1 = 2 : 1, или\frac{AO}{OA_1} = 2.</p><p>Используем формулу из пункта а):</p>b+c/a=2impliesb+c=2aimpliesa=b+c/2</p><p>Это означает, что сторонаa равна полусумме двух других сторон b и c .</p><p>Обратно: еслиa = \frac{b+c}{2}, то2a = b+c , откуда\frac{b+c}{a} = 2, следовательно,\frac{AO}{OA_1} = 2. То есть AO = 2 OA_1, и точка O делит биссектрису в отношении2:1от вершины.</p><p>Утверждение доказано.</p><p><strong>Проверка.</strong></p><p>Формулы симметричны относительно сторон. Для равностороннего треугольникаa=b=c . Тогда\frac{AO}{OA_1} = \frac{(a+a)}{a} = 2. Биссектрисы делятся в отношении 2:1. Это совпадает со свойством медиан в равностороннем треугольнике (где биссектрисы являются медианами). В пункте в) для равностороннего треугольника b+c=2a > a $, поэтому деление пополам невозможно. Логика верна.