ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 842: Теорема о биссектрисе треугольника

План решения.

Для нахождения площади треугольника по заданным высотам удобно использовать формулу Герона или связь между сторонами и площадями. Пусть S — искомая площадь треугольника, а a, b, c — его стороны, соответствующие высотам h_a=3 см, h_b=4 см и h_c=6 см. Из определения площади следует, что S=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c. Отсюда выразим стороны через площадь: a=2S/3, b=2S/4=S/2, c=2S/6=S/3. Теперь задача сводится к нахождению S из условия существования такого треугольника с данными сторонами. Можно воспользоваться обратной зависимостью: если известны высоты, то можно найти отношение сторон, а затем применить формулу для площади через одну сторону и высоту, либо использовать формулу, связывающую площадь и высоты напрямую.

Вычисление.

Существует удобная формула для площади треугольника через его высоты h_a,h_b,h_c: S=1/(1/h_a+1/h_b+1/h_c)(1/h_a+1/h_b-1/h_c)(1/h_a-1/h_b+1/h_c)(-1/h_a+1/h_b+1/h_c) Эта формула получается из формулы Герона, если выразить стороны через площади (a=2S/h_a и т.д.) и сократить S. Давайте подставим наши значения: h_a=3, h_b=4, h_c=6. Сначала найдем обратные величины высот: 1/h_a=1/3, 1/h_b=1/4, 1/h_c=1/6 Приведем их к общему знаменателю, который равен 12: 1/3=4/12, 1/4=3/12, 1/6=2/12 Теперь вычислим множители в скобках под корнем: 1) 1/h_a+1/h_b+1/h_c=4+3+2/12=9/12=3/4 2) 1/h_a+1/h_b-1/h_c=4+3-2/12=5/12 3) 1/h_a-1/h_b+1/h_c=4-3+2/12=3/12=1/4 4) -1/h_a+1/h_b+1/h_c=-4+3+2/12=1/12 Перемножим полученные дроби: P=3/4·5/12·1/4·1/12=3·5·1·1/4·12·4·12=15/2304 Упростим дробь перед извлечением корня. Заметим, что 2304=48². Проверим это: 48·48=(50-2)²=2500-200+4=2304. Верно. Также можно упростить само произведение до извлечения корня: 15/2304=15/48² Тогда площадь равна: S=1/15/2304=1/15/48=48/15 Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 15: S=4815/15 Сократим дробь на 3: S=1615/5

Проверка.

Давайте проверим результат другим способом, через выражение сторон. Пусть S=1615/5. Тогда стороны будут равны: a=2S/3=3215/15, b=S/2=815/5=2415/15, c=S/3=1615/15. Проверим неравенство треугольника. Стороны пропорциональны числам 32,24,16 (или 4,3,2 после сокращения на 8). Треугольник со сторонами 4, 3, 2 существует, так как 2+3>4. Это подтверждает корректность исходных данных. Рассмотрим треугольник со сторонами 4k,3k,2k. Найдем его площадь по формуле Герона. Полупериметр p=4k+3k+2k/2=4.5k=9k/2. S_test=9k/2(9k/2-4k)(9k/2-3k)(9k/2-2k)=9k/2·k/2·3k/2·5k/2=135k⁴/16=k²135/4=3k²15/4 Высота h_a, опущенная на сторону a=4k, равна h_a=2S_test/a=2·3k²15/4/4k=3k15/8. По условию h_a=3. Приравняем: 3k15/8=3impliesk15=8impliesk=8/15 Теперь найдем реальную площадь S, подставив k в формулу S_test: S=3(8/15)²15/4=3·64/15·15/4=19215/60 Сократим на 12: 192/12=16, 60/12=5impliesS=1615/5 Результаты совпадают. Ответ верен.