ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 840: Теорема о биссектрисе треугольника

План доказательства.

Для доказательства утверждения «тогда и только тогда» необходимо рассмотреть две части: прямую импликацию (если M на медиане, то площади равны) и обратную импликацию (если площади равны, то M на медиане). Введем вспомогательную точку D — пересечение прямой BM со стороной AC. Это позволит связать площади треугольников BAM и BCM с площадями треугольников, имеющими общую высоту или основание.

Часть 1. Прямое утверждение.

Пусть точка M лежит на медиане BD, проведенной из вершины B к стороне AC. По определению медианы, точка D является серединой отрезка AC, то есть AD=DC. Рассмотрим площади треугольников ABD и CBD. Они имеют равные основания (AD=DC) и общую высоту, опущенную из вершины B на прямую AC. Следовательно, их площади равны: S_ABD=S_CBD Теперь вычтем из этих равенств площади треугольников AMD и CMD. Эти треугольники также имеют равные основания (AD=DC) и общую высоту, опущенную из точки M на прямую AC. Значит, S_AMD=S_CMD Так как S_BAM=S_ABD-S_AMD и S_BCM=S_CBD-S_CMD, то при равенстве соответствующих разностей получаем: S_BAM=S_BCM Прямая часть доказана.

Часть 2. Обратное утверждение.

Пусть дано, что S_BAM=S_BCM. Нам нужно доказать, что M лежит на медиане из вершины B. Обозначим через D точку пересечения прямой BM со стороной AC. Представим площади интересующих нас треугольников как суммы или разности площадей треугольников с основанием на AC. Заметим, что S_BAM=S_BAD-S_MAD (если M между B и D) или аналогично для других конфигураций, но проще использовать отношение площадей. Воспользуемся свойством: если два треугольника имеют общую высоту, то отношение их площадей равно отношению оснований. Рассмотрим треугольники ABM и CBM. Их можно представить как разность площадей больших треугольников ABD и CBD и малых AMD и CMD (при условии, что M внутри угла ABC и луч BM пересекает AC). Более строгий путь: пусть h_A и h_C — расстояния от точек A и C до прямой BM. Тогда S_BAM=1/2BM·h_A, S_BCM=1/2BM·h_C Из условия S_BAM=S_BCM следует, что h_A=h_C. Расстояния от концов отрезка AC до прямой, проходящей через внутреннюю точку M и пересекающей AC в точке D, равны тогда и только тогда, когда точка D является серединой отрезка AC (так как треугольники ADM и CDM... точнее, прямоугольные треугольники, образованные высотами, равны по гипотенузе и острому углу вертикальному, либо просто из подобия/равенства проекций). Если h_A=h_C, то прямая BM проходит через середину отрезка AC. То есть точка D — середина AC. Следовательно, отрезок BD является медианой треугольника ABC. Так как точка M лежит на отрезке BD, то она лежит на медиане.

Проверка и вывод.

Мы показали, что равенство площадей S_BAM=S_BCM эквивалентно тому, что прямая BM делит сторону AC пополам. Геометрическое место точек M, для которых это выполняется, — это медиана, исходящая из вершины B. Логика симметрична для обеих частей теоремы. Утверждение доказано полностью.