ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 836: Теорема о биссектрисе треугольника
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Вера Лапина, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что BD:AB=DC:AC. Докажите, что отрезок AD — биссектриса треугольника ABC.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Нам дано соотношение отрезков на стороне BC: BD:AB=DC:AC. Нужно доказать, что AD является биссектрисой угла A. Для этого воспользуемся теоремой о биссектрисе треугольника. Теорема гласит: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть, если AD — биссектриса, то выполняется равенство BD/DC=AB/AC.
Ход доказательства.
Запишем данное в условии соотношение в виде дроби:
BD/AB=DC/ACПреобразуем это равенство так, чтобы получить отношение отрезков стороны BC к отношению соответствующих сторон треугольника. Умножим обе части равенства на AB и разделим на DC (или просто перегруппируем множители):
BD/DC=AB/ACМы получили точное условие обратной теоремы о биссектрисе. Согласно этой теореме, если точка D, лежащая на стороне BC, делит эту сторону на отрезки BD и DC, пропорциональные прилежащим сторонам AB и AC, то отрезок AD является биссектрисой угла BAC.
Проверка и вывод.
Логика доказательства строится на эквивалентности условий прямой и обратной теорем. Прямая теорема утверждает, что биссектриса дает пропорцию BD/DC=AB/AC. Обратная теорема утверждает, что наличие такой пропорции гарантирует, что AD — биссектриса. Поскольку мы вывели именно эту пропорцию из условия задачи, утверждение доказано.
Доказано с помощью обратной теоремы о биссектрисе.
В задаче требуется применить обратную теорему о биссектрисе. Ключ указывает на п. 91, где обычно формулируется сама теорема. Важно показать алгебраическое преобразование данного отношения BD/AB = DC/AC в канонический вид обратной теоремы BD/DC = AB/AC.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 836 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 836?
Краткий ответ: Доказано с помощью обратной теоремы о биссектрисе.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 91. Теорема о биссектрисе треугольника.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.