ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 837: Теорема о биссектрисе треугольника

План доказательства.

Для решения задачи воспользуемся методом площадей. Нам нужно связать длины отрезков BD и DC с длинами сторон треугольника AB и AC. Ключевая идея состоит в том, чтобы рассмотреть площади треугольников ABD и ACD. Поскольку эти треугольники имеют общую вершину A и их основания BD и DC лежат на одной прямой BC, отношение их площадей равно отношению оснований. С другой стороны, мы можем выразить эти площади через высоты, опущенные из точек B и C на прямую, содержащую биссектрису внешнего угла при вершине A.

Ход решения.

1. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Их основания BD и DC лежат на одной прямой BC, а общая вершина — точка A. Пусть h_A — расстояние от точки A до прямой BC (высота обоих треугольников относительно этих оснований). Тогда площади равны:

Отсюда следует, что отношение площадей равно отношению оснований:

2. Теперь рассмотрим те же треугольники ABD и ACD, но возьмём за основу другие стороны: AB для первого и AC для второго. Проведём высоты из вершин B и C к прямой AD. Обозначим высоту из B как h_B, а высоту из C как h_C. Тогда:

Отношение площадей можно записать так:

3. По условию AD является биссектрисой внешнего угла при вершине A. Это означает, что прямая AD делит внешний угол пополам. Важное свойство биссектрисы угла (внутреннего или внешнего): любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон этого угла. Однако здесь удобнее использовать симметрию углов. Пусть луч AE — продолжение стороны BA за точку A. Тогда β₁=β₂, где β₁ — угол между AD и AC, а β₂ — угол между AD и AE (продолжением AB). Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотами h_B и h_C. Высота h_B — это перпендикуляр из B на прямую AD. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой AB и углом при вершине A, равным вертикальному углу к β₂ (или самому β₂, в зависимости от расположения), длина катета h_B связана со стороной AB и синусом угла наклона. Более простой геометрический подход: пусть M и N — проекции точек B и C на прямую AD. Тогда BM=h_B и CN=h_C. Так как AD — биссектриса внешнего угла, то углы, которые стороны AB и AC образуют с прямой AD, равны по модулю (учитывая вертикальные углы или смежные). А именно, если обозначить угол между AD и AC как θ, то угол между AD и продолжением AB также равен θ. Следовательно, угол между AD и самой стороной AB равен 180^°-θ. Синусы этих углов равны: sin(θ)=sin(180^°-θ). Из формул площади через две стороны и синус угла между ними (рассматривая треугольники ABD и ACD с общей стороной AD): S_ABD=1/2AB·AD·sin(∠BAD), S_ACD=1/2AC·AD·sin(∠CAD). Так как AD — биссектриса внешнего угла, то △BAD и △CAD имеют такие углы при вершине A, что △BAD использует угол, смежный с внутренним, а △CAD — часть внешнего. Точнее, пусть внутренний угол A равен τ. Внешний угол равен 180^°-τ. Биссектриса делит его на два угла по (180^°-τ)/2=90^°-τ/2. Угол △CAD (между AC и AD) равен 90^°-τ/2. Угол △BAD (между AB и AD) равен τ+(90^°-τ/2)=90^°+τ/2. Заметим, что △BAD и △CAD не являются стандартными треугольниками внутри ABC, они «обхватывают» сторону. Однако, вернемся к высотам h_B и h_C на прямую AD. В △ABM (где M — проекция B на AD): h_B=AB·sin(∠BAM). В △ACN (где N — проекция C на AD): h_C=AC·sin(∠CAN). Так как AD — биссектриса внешнего угла, то △BAM и △CAN симметричны относительно прямой AD в смысле углов наклона сторон к биссектрисе? Нет, точнее: углы, которые стороны AB и AC составляют с биссектрисой внешнего угла, равны. То есть △BAM=△CAN (как величины углов). Следовательно, △BAM=△CAN. Тогда: h_B/h_C=AB·sin(α)/AC·sin(α)=AB/AC, где △ — угол между стороной и биссектрисой. Подставим это в уравнение (2): S_ABD/S_ACD=AB/AC·h_B/h_C=AB/AC·AB/AC? Нет, стоп. Давайте аккуратно. h_B=ABsin(△BAD′), где D′ — направление. Проще: Из свойства биссектрисы внешнего угла известно, что расстояния от точек B и C до прямой AD относятся как AB:AC? Проверим. Пусть △ — угол между AD и AC. Тогда угол между AD и AB тоже △ (так как AD биссектриса внешнего угла, она симметрична относительно сторон, образующих этот внешний угол, но одна сторона AB лежит на линии, симметричной AC относительно перпендикуляра к биссектрисе? Нет. Свойство: Биссектриса внешнего угла при вершине A проходит через центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Расстояние от центра этой окружности до всех трех прямых (AB,BC,AC) одинаково. Но нам нужны расстояния от B и C до AD. Вернемся к синусам. △BAD=90^°+A/2. △CAD=90^°-A/2. △BAD=△(90^°+A/2)=△(A/2). △CAD=△(90^°-A/2)=△(A/2). Синусы углов при вершине A в треугольниках ABD и ACD равны! Тогда: S_ABD=1/2AB·AD·sin(A/2), S_ACD=1/2AC·AD·sin(A/2). Делим первое на второе: S_ABD/S_ACD=AB/AC. (3)

4. Приравниваем выражения для отношения площадей из (1) и (3):

Преобразуем пропорцию:

Проверка.

Мы использовали два независимых способа вычисления отношения площадей треугольников ABD и ACD: через основания на прямой BC и через стороны AB,AC с общим множителем AD и равными синусами углов при вершине A. Равенство результатов подтверждает корректность вывода. Полученная формула аналогична теореме о внутренней биссектрисе, но с заменой внутреннего деления на внешнее, что согласуется с геометрическим смыслом задачи.