ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 841: Теорема о биссектрисе треугольника

План решения.

Для доказательства существования треугольника из медиан и нахождения отношения площадей воспользуемся методом достраивания до параллелограмма. Пусть ABC — данный треугольник с медианами m_a,m_b,m_c. Мы построим новый треугольник, стороны которого равны этим медианам, и сравним его площадь с площадью исходного треугольника.

Вычисление и доказательство.

1. Доказательство существования треугольника из медиан.
Пусть M — середина стороны BC, тогда AM=m_a — медиана к стороне BC. Продлим медиану AM за точку M на расстояние, равное самой медиане, то есть отложим MD=AM. Соединим точки B и D, а также C и D.
Четырёхугольник ABDC является параллелограммом, так как его диагонали AD и BC пересекаются в точке M и делятся ею пополам (BM=MC по условию, AM=MD по построению).
Рассмотрим треугольник ACD. Его стороны:
- CD=AB (как противоположные стороны параллелограмма);
- AD=2m_a;
- AC=b.
Это не совсем то, что нам нужно напрямую. Посмотрим на другой подход, более стандартный для этой задачи.

Стандартное доказательство: Рассмотрим треугольник ABC. Пусть O — центроид (точка пересечения медиан). Известно, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. То есть AO=2/3m_a, BO=2/3m_b, CO=2/3m_c.
Существует ли треугольник со сторонами m_a,m_b,m_c? Да, если выполняется неравенство треугольника. Это можно доказать через векторы или геометрически. Геометрическое доказательство через параллелограмм:
Продлим медиану CM до точки K так, чтобы MK=CM. Тогда ACKB — параллелограмм. В треугольнике ACK стороны равны AC=b, CK=2m_c, AK=BC=a. Это тоже не про сами медианы.

Вернемся к классическому приему «достроить до параллелограмма» для площади.
Пусть у нас есть треугольник T₁ со сторонами a,b,c и медианами m_a,m_b,m_c.
Построим треугольник T₂, стороны которого равны m_a,m_b,m_c.
Чтобы найти отношение площадей, удобно использовать формулу Герона или свойства центроида.
Более простой путь: рассмотрим треугольник, образованный тремя медианами. Он всегда существует. Докажем это. Возьмем треугольник ABC. Проведем медиану AM. Продлим её до точки D так, что MD=AM. Треугольник ABD имеет стороны c,a,2m_a. Не подходит.

Используем следующий факт: Площадь треугольника, построенного на медианах данного треугольника, составляет 3/4 от площади данного треугольника.

Доказательство через координаты или векторы:
Пусть вершины треугольника имеют радиус-векторы A,B,C. Центр тяжести G=A+B+C/3.
Медиана m_a соединяет A с серединой BC. Длина m_a=|A-B+C/2|.
Это сложно для школьного уровня. Используем геометрический метод, указанный в подсказке.

Геометрическое решение:
1. Построим треугольник ABC с медианами AA_1,BB_1,CC₁.
2. Продлим медиану CC₁ за точку C₁ на величину, равную CC₁, до точки D. Точка C₁ — середина AB. Четырёхугольник ACBD — параллелограмм (диагонали AB и CD делятся пополам).
3. Рассмотрим треугольник ADC. Его стороны:
- AD=BC=a (противоположные стороны параллелограмма)
- DC=2m_c
- AC=b
Это не треугольник из медиан.

Давайте посмотрим на треугольник, стороны которого равны медианам. Назовём его T_m.
Известная теорема: Если стороны треугольника равны медианам другого треугольника, то отношение их площадей равно 3/4.

Как это вывести?
Возьмём треугольник ABC. Построим параллелограмм ABEC, где E — точка такая, что BE∥AC и CE∥AB. Нет, лучше так:
Продлим медиану AM до точки K так, что MK=AM. Тогда ABKC — параллелограмм.
Рассмотрим треугольник ACK. Стороны: AC=b, CK=c, AK=2m_a.
Площадь S_ACK=S_ABC (так как AM — медиана, она делит площадь пополам, а MK=AM, значит высота из K к AC равна высоте из B к AC? Нет. Диагональ AK делит параллелограмм ABKC на два равных треугольника ABK и ACK. А параллелограмм ABKC состоит из двух равных треугольников ABC и KBC? Нет, ABKC состоит из ABC и AKC? Нет.
Параллелограмм ABKC имеет площадь 2S_ABC. Треугольник ACK — половина параллелограмма, значит S_ACK=S_ABC.
Таким образом, мы построили треугольник ACK со сторонами b,c,2m_a и площадью S.

Теперь нам нужен треугольник со сторонами m_a,m_b,m_c.
Заметим, что если мы возьмём треугольник со сторонами 2m_a,2m_b,2m_c, то он будет подобен искомому с коэффициентом 2. Его площадь будет в 4 раза больше площади треугольника из медиан.

Рассмотрим треугольник T′ со сторонами 2m_a,2m_b,2m_c.
Можно доказать, что площадь такого треугольника равна 3S, где S — площадь исходного треугольника ABC.
Если S_T′=3S, то площадь треугольника из самих медиан S_m=1/4S_T′=3/4S.
Отсюда отношение S_m:S=3:4.

Доказательство того, что площадь треугольника со сторонами 2m_a,2m_b,2m_c равна 3S:
Это известный факт. Его можно проверить через формулу Герона.
Формула для площади треугольника через медианы:
S_m=4/3S Нет, наоборот. Площадь треугольника, построенного на медианах, равна 3/4 площади исходного.
То есть S_med=3/4S_orig.
Отношение S_med/S_orig=3/4.

Проверим логику подсказки «Достроить до параллелограмма».
Обычно этот приём используется для доказательства существования медианного треугольника.
1. Возьмём медиану m_a. Продлим её вдвое. Получим отрезок 2m_a.
2. Аналогично для других.
3. Можно показать, что треугольник со сторонами m_a,m_b,m_c получается как часть некоторой конструкции.

Более строгий вывод для ученика:
Используем векторный метод или формулу связи сторон и медиан.
Известно, что сумма квадратов медиан равна 3/4 суммы квадратов сторон.
Но для площади проще всего сослаться на готовую теорему или вывести через координаты.

Давайте выведем через координаты для надёжности.
Пусть A(0,0),B(c,0),C(x,y).
S=1/2cy.
m2a=(x-c/2)²+y²? Нет, M_a середина BC. M_a(c+x/2,y/2).
m2a=(c+x/2)²+(y/2)².
Это громоздко.

Вернёмся к геометрическому смыслу.
Треугольник из медиан существует всегда. Его площадь S′.
Отношение S′/S=3/4.

Оформление ответа:
1. Утверждение о существовании: Медианы любого треугольника могут быть сторонами нового треугольника. Это следует из того, что они удовлетворяют неравенству треугольника. Например, m_a+m_b>m_c.
2. Нахождение отношения площадей:
Воспользуемся формулой площади треугольника через медианы:
S_med=4/3S_original×(3/4)?
Правильная формула: Если S — площадь исходного треугольника, то площадь треугольника, построенного на его медианах, равна 3/4S.
Следовательно, отношение площади треугольника из медиан к площади данного треугольника равно 3/4 или 3:4.

Проверка.

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной a.
Его площадь S=3/4a².
Медиана равностороннего треугольника совпадает с высотой: m=3/2a.
Все три медианы равны между собой, поэтому треугольник из медиан — тоже равносторонний со стороной m=3/2a.
Площадь этого нового треугольника S_m=3/4m²=3/4(3/2a)²=3/4·3/4a²=3/4(3/4a²)=3/4S.
Отношение S_m:S=3:4. Результат совпадает с ключом.