ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 845: Теорема о биссектрисе треугольника

План решения.

Для доказательства формул в пунктах а) и б) нам потребуется выразить площадь треугольника S через радиусы вневписанных окружностей. В пункте а) мы разобьем треугольник на три части с помощью центра вневписанной окружности и суммируем их площади. В пункте б) мы используем результат пункта а), а также стандартную формулу Герона для площади треугольника, чтобы вывести связь между радиусами всех четырех окружностей (вписанной и трех вневписанных).

Вычисление и доказательство.

а) Доказательство формулы S=r_a(p-a).

Пусть I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC=a. Радиус этой окружности равен r_a. Проведем отрезки AI_a, BI_a и CI_a. Эти отрезки делят треугольник ABC на три меньших треугольника: △ABI_a, △ACI_a и △BCI_a. Заметим, что точка I_a лежит вне треугольника ABC, поэтому площадь исходного треугольника можно представить как сумму площадей двух боковых треугольников минус площадь треугольника, прилежащего к стороне a: S_ABC=S_ABIa+S_ACIa-S_BCIa Высота каждого из этих треугольников, опущенная из вершины I_a на соответствующую сторону (или её продолжение), равна радиусу вневписанной окружности r_a. Тогда: S_ABIa=1/2c·r_a, S_ACIa=1/2b·r_a, S_BCIa=1/2a·r_a Подставим эти выражения в формулу площади: S=1/2cr_a+1/2br_a-1/2ar_a=1/2r_a(b+c-a) Вспомним определение полупериметра p=a+b+c/2. Отсюда следует, что 2p=a+b+c, или b+c=2p-a. Подставим это в скобки: b+c-a=(2p-a)-a=2p-2a=2(p-a) Тогда: S=1/2r_a·2(p-a)=r_a(p-a) Что и требовалось доказать.

б) Доказательство формул S=rr_ar_br_c и 1/r_a+1/r_b+1/r_c=1/r.

Аналогично пункту а), запишем формулы для других вневписанных окружностей: S=r_b(p-b) и  S=r_c(p-c) Также известна формула для площади через радиус вписанной окружности r: S=rp Из этих четырех равенств выразим множители (p-a), (p-b), (p-c) и p: p-a=S/r_a, p-b=S/r_b, p-c=S/r_c, p=S/r Воспользуемся формулой Герона для площади треугольника: S=p(p-a)(p-b)(p-c) Подставим найденные выражения под корень: S=S/r·S/r_a·S/r_b·S/r_c=S⁴/rr_ar_br_c Извлекая квадратный корень, получаем: S=S²/rr_ar_br_c Разделим обе части на S (так как S>0): 1=S/rr_ar_br_cimpliesS=rr_ar_br_c Первая часть утверждения доказана. Теперь докажем вторую часть. Возьмем полученное равенство S=rr_ar_br_c и возведем его в квадрат: S²=rr_ar_br_c С другой стороны, используя выражения для p,p-a,p-b,p-c через S и радиусы, заметим следующее тождество: p=(p-a)+(p-b)+(p-c)+a+b+c-3p? Нет, проще использовать алгебраическое преобразование. Вернемся к выражениям: 1/r_a=p-a/S, 1/r_b=p-b/S, 1/r_c=p-c/S, 1/r=p/S Сложим первые три дроби: 1/r_a+1/r_b+1/r_c=(p-a)+(p-b)+(p-c)/S=3p-(a+b+c)/S Так как a+b+c=2p, то числитель равен: 3p-2p=p Следовательно: 1/r_a+1/r_b+1/r_c=p/S Но мы знаем, что 1/r=p/S. Значит: 1/r_a+1/r_b+1/r_c=1/r Что и требовалось доказать.

Проверка.

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной a. Его площадь S=a²3/4, полупериметр p=3a/2. Радиус вписанной окружности r=a3/6. Радиус вневписанной окружности r_a: по формуле из п. а) r_a=S/p-a=a²3/4/3a/2-a=a²3/4/a/2=a3/2. Проверим формулу S=rr_ar_br_c. Так как треугольник равносторонний, r_a=r_b=r_c=a3/2. rr3a=a3/6·(a3/2)³=a3/6·3a³3/8=9a⁴/48=3a⁴/16=a²3/4=S Формула верна. Проверим формулу обратных величин: 1/r_a+1/r_b+1/r_c=3/r_a=3/a3/2=6/a3=23/a 1/r=1/a3/6=6/a3=23/a Равенство выполняется. Решение корректно.