ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 849: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Ольга Кузнецова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Отрезки AD, AH и AM — биссектриса, высота и медиана треугольника ABC, вписанная в треугольник окружность касается стороны BC в точке K. Докажите, что MK2=MD·MH.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства равенства MK2=MD·MH необходимо выразить длины отрезков MD, MH и MK через стороны треугольника ABC. Обозначим стороны как a=BC, b=AC, c=AB. Точка M — середина BC, поэтому BM=MC=a/2. Точка K — точка касания вписанной окружности со стороной BC, для неё справедлива формула BK=a+c-b/2 (или аналогично CK=a+b-c/2). Отрезки BD и BH выражаются через свойства биссектрисы и высоты соответственно. Далее найдем разности координат точек на прямой BC относительно середины M.
Вычисление.
1. Отрезок MK. Так как M — середина BC, то BM=a/2. Длина BK=a+c-b/2. Тогда расстояние между точками M и K равно модулю разности их расстояний от вершины B: MK=|BM-BK|=|a/2-a+c-b/2|=|a-a-c+b/2|=|b-c|/2. Следовательно, MK2=(b-c)2/4.
2. Отрезок MD. По теореме о биссектрисе, BD=ac/b+c. Расстояние от середины M до точки D: MD=|BM-BD|=|a/2-ac/b+c|=a|b+c-2c/2(b+c)|=a|b-c|/2(b+c).
3. Отрезок MH. В прямоугольном треугольнике ABH имеем BH=ccosB. По теореме косинусов для треугольника ABC: cosB=a2+c2-b2/2ac. Тогда BH=c·a2+c2-b2/2ac=a2+c2-b2/2a. Расстояние от середины M до основания высоты H: MH=|BM-BH|=|a/2-a2+c2-b2/2a|=|a2-(a2+c2-b2)/2a|=|b2-c2|/2a=|b-c|(b+c)/2a. (Здесь мы использовали тождество |b2-c2|=|b-c|(b+c), так как b,c>0).
4. Произведение MD·MH. Перемножим полученные выражения: MD·MH=(a|b-c|/2(b+c))·(|b-c|(b+c)/2a). Сокращаем a и (b+c): MD·MH=|b-c|2/4=(b-c)2/4.
Проверка и вывод.
Мы получили, что MK2=(b-c)2/4 и MD·MH=(b-c)2/4. Таким образом, левая и правая части доказываемого равенства совпадают:
MK2=MD·MH. Что и требовалось доказать.Доказано: MK2=MD·MH
Решение опирается на стандартные формулы для длин отрезков, отсекаемых биссектрисой, высотой и точкой касания вписанной окружности на стороне треугольника. Ключевой момент — правильное выражение расстояний от середины стороны (точки M) до других точек (D, H, K) и последующее алгебраическое упрощение произведения.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 849 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 849?
Краткий ответ: Доказано: MK^2 = MD · MH.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.