ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 853: Метод координат в пространстве

План решения.

Для доказательства коллинеарности точек A_2,B_2,C₂ воспользуемся обратной теоремой Менелая. Нам нужно показать, что произведение отношений отрезков, на которые эти точки делят стороны треугольника (или их продолжения), равно -1. Сначала выразим отношения для исходных точек A_1,B_1,C₁, используя условие их коллинеарности, а затем через симметрию найдем связи с точками A_2,B_2,C₂.

Вычисление и доказательство.

Так как точки A_1,B_1,C₁ лежат на одной прямой, по теореме Менелая для треугольника ABC справедливо равенство:

Рассмотрим сторону BC. Пусть M_a — середина стороны BC. По условию точка A₂ симметрична точке A₁ относительно M_a. Это означает, что вектор M_aA₂=-M_aA₁, или в скалярной форме с учетом направления: если координата A₁ равна x, то координата A₂ равна -x (при начале отсчета в середине).

Введем обозначения для длин отрезков. Пусть BM_a=M_aC=a/2. Если A₁ находится на расстоянии d от середины M_a в сторону C, то BA₁=a/2+d и A₁C=a/2-d. Тогда отношение для точки A₁: BA₁/A₁C=a/2+d/a/2-d. Точка A₂ симметрична A₁, значит, она находится на расстоянии d от M_a в сторону B. Тогда BA₂=a/2-d и A₂C=a/2+d. Отношение для точки A₂: BA₂/A₂C=a/2-d/a/2+d.

Заметим, что BA₂/A₂C=(BA₁/A₁C)^-1. Аналогичные рассуждения справедливы для сторон CA и AB. Для точки B₂ симметричной B₁ относительно середины AC, имеем: CB₂/B₂A=(CB₁/B₁A)^-1. Для точки C₂ симметричной C₁ относительно середины AB, имеем: AC₂/C₂B=(AC₁/C₁B)^-1.

Теперь составим произведение отношений для точек A_2,B_2,C₂:

Подставим значение из теоремы Менелая для исходных точек:

Проверка и вывод.

Мы получили, что произведение отношений отрезков, на которые точки A_2,B_2,C₂ делят стороны треугольника ABC, равно -1. Согласно обратной теореме Менелая, это является необходимым и достаточным условием того, что точки A_2,B_2,C₂ лежат на одной прямой. Таким образом, утверждение доказано.