ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 852: Метод координат в пространстве

План решения. Для доказательства коллинеарности точек A₁, B₁ и C₁ воспользуемся обратной теоремой Менелая. Согласно этой теореме, три точки, лежащие на сторонах (или их продолжениях) треугольника, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда произведение отношений отрезков, на которые эти точки делят стороны, равно единице. Нам необходимо вычислить отношения BA₁/CA₁, CB₁/AB₁ и AC₁/BC₁ с помощью свойства биссектрисы внешнего угла и проверить равенство: BA₁/CA₁·CB₁/AB₁·AC₁/BC₁=1

Вычисление. Рассмотрим точку A₁. Она является точкой пересечения внешней биссектрисы угла A с прямой BC. По свойству внешней биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону (внешним образом) в отношении прилежащих сторон. То есть: BA₁/CA₁=AB/AC Здесь важно учитывать направление векторов или знаки отрезков. Поскольку точка A₁ лежит на продолжении стороны BC, отношение длин отрезков BA₁ и CA₁ положительно, но в контексте теоремы Менелая мы часто работаем со знаками. Однако для проверки условия «произведение равно 1» достаточно взять модули, если мы правильно определим, что все три точки лежат на продолжениях сторон (что верно для внешних биссектрис). Аналогично для точки B₁ (пересечение внешней биссектрисы угла B с прямой AC): CB₁/AB₁=BC/AB И для точки C₁ (пересечение внешней биссектрисы угла C с прямой AB): AC₁/BC₁=AC/BC Теперь подставим полученные выражения в произведение из плана: BA₁/CA₁·CB₁/AB₁·AC₁/BC₁=AB/AC·BC/AB·AC/BC Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: AB·BC·AC/AC·AB·BC=1

Проверка и вывод. Мы получили, что произведение отношений отрезков, на которые точки A₁, B₁ и C₁ делят стороны треугольника ABC (продолжения сторон), равно единице. Так как все три точки лежат на прямых, содержащих стороны треугольника, и ни одна из них не совпадает с вершиной треугольника (так как внешняя биссектриса параллельна основанию только в вырожденном случае, а в общем случае пересекает его), то по обратной теореме Менелая следует, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой. Эта прямая называется внешней осью симметрии или прямой, проходящей через точки пересечения внешних биссектрис с противоположными сторонами. Ответ: Доказано, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.