ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 847: Теорема о биссектрисе треугольника

План решения:

Для доказательства формулы Брахмагупты (пункт а) разобьём выпуклый четырёхугольник ABCD на два треугольника диагональю AC. Площадь всего четырёхугольника равна сумме площадей этих треугольников. Используем формулу площади через две стороны и синус угла между ними, а также теорему косинусов для выражения диагонали. В пункте б) учтём свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна 180^°, что упрощает тригонометрическое слагаемое. Для вывода формулы Герона применим полученную формулу к вырожденному случаю или просто положим одну из сторон равной нулю, но корректнее — рассмотреть треугольник как частный случай, где одна сторона отсутствует, либо использовать алгебраические преобразования.

Вычисление:

а) Пусть диагональ AC делит четырёхугольник на △ABC и △ADC. Обозначим стороны AB=a,BC=b,CD=c,DA=d. Углы при вершинах B и D обозначим β и θ соответственно. Площадь четырёхугольника: S=S_ABC+S_ADC=1/2absinβ+1/2cdsinθ По теореме косинусов для диагонали AC: AC²=a²+b²-2abcosβ=c²+d²-2cdcosθ Отсюда выразим косинусы: cosβ=a²+b²-AC²/2ab, cosθ=c²+d²-AC²/2cd Это прямой путь громоздок. Более элегантно использовать тождество для квадрата суммы площадей. Рассмотрим выражение (p-a)(p-b)(p-c)(p-d). Заметим, что p-a=b+c+d-a/2 и т.д. Существует известное доказательство через координаты или векторы, но следуя указанию учебника, используем тригонометрию. Из равенства a²+b²-2abcosβ=c²+d²-2cdcosθ следует: 2(abcosβ-cdcosθ)=a²+b²-c²-d² Возведём уравнение площади в квадрат: 4S²=(absinβ+cdsinθ)²=a^2b2sin²β+c^2d2sin²θ+2abcdsinβsinθ Используем sin²x=1-cos²x: 4S²=a^2b2(1-cos²β)+c^2d2(1-cos²θ)+2abcdsinβsinθ Подставив выражения для косинусов и проведя алгебраические преобразования (опустим промежуточные громоздкие шаги раскрытия скобок), можно прийти к соотношению: 16S²=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcdcos²(β+θ/2) Первые четыре множителя в первой части равны 16(p-d)(p-c)(p-b)(p-a). Таким образом: 16S²=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-16abcdcos²(B+D/2) Делим на 16: S²=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos²(B+D/2)

б) Если около четырёхугольника можно описать окружность, то он является вписанным. Свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна 180^°, то есть B+D=180^°. Тогда угол половинный: B+D/2=90^°. Косинус этого угла равен нулю: cos90^°=0. Формула из пункта а) принимает вид: S²=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd·0 S²=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) Отсюда: S=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)

Вывод формулы Герона:

Рассмотрим треугольник со сторонами a,b,c. Его можно представить как вырожденный четырёхугольник, где четвёртая сторона d=0. Однако полупериметр четырёхугольника p₄=a+b+c+0/2=p (полупериметр треугольника). Подставим d=0 в формулу Брахмагупты: S²=(p-a)(p-b)(p-c)(p-0)-ab·0·0·… Второе слагаемое обращается в ноль из-за наличия множителя d (или abcd). Тогда: S²=(p-a)(p-b)(p-c)p S=p(p-a)(p-b)(p-c) Что и является формулой Герона.

Проверка:

Для квадрата со стороной a: p=2a. Формула б): S=(2a-a)⁴=a⁴=a². Верно. Для прямоугольного треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 (d=0 в контексте вывода): p=6. S=6(3)(2)(1)=36=6. Верно.