ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 851: Метод координат в пространстве

План решения.

Чтобы доказать коллинеарность точек A₁, B₁ и C₁, лежащих на сторонах (или их продолжениях) треугольника ABC, воспользуемся обратной теоремой Менелая. Для этого необходимо вычислить произведение отношений отрезков, на которые эти точки делят стороны треугольника, и показать, что оно равно единице. Отношения для внутренних биссектрис найдем через свойство биссектрисы, а отношение для внешней биссектрисы — через аналогичное свойство или через предельный переход/геометрические соображения.

Вычисление.

Рассмотрим треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ лежат на прямых BC, AC и AB соответственно.

1. Так как AA₁ — внутренняя биссектриса угла A, то по свойству биссектрисы треугольника точка A₁ делит сторону BC в отношении прилежащих сторон: BA₁/A₁C=AB/AC
2. Так как BB₁ — внутренняя биссектриса угла B, то точка B₁ делит сторону AC в отношении прилежащих сторон: CB₁/B₁A=BC/AB Заметим, что в формуле Менелая обычно используется отношение AB₁/B₁C или CB₁/B₁A. Нам нужно привести все отношения к единому циклу обхода вершин A→B→C→A. Запишем отношение для точки B₁ на стороне AC как AB₁/B₁C. Из равенства выше следует, что AB₁/B₁C=AB/BC.
3. Луч CC₁ является биссектрисой внешнего угла при вершине C. По свойству биссектрисы внешнего угла, точка C₁ делит противоположную сторону AB (внешним образом) в отношении прилежащих сторон: AC₁/C₁B=AC/BC Важно учесть направление отрезков. В теореме Менелая используются направленные отрезки. Если точка C₁ лежит вне отрезка AB, то отношение AC₁/C₁B отрицательно, если мы рассматриваем векторы, но в классической скалярной форме теоремы Менелая для трех точек, одна из которых лежит на продолжении стороны, произведение модулей отношений равно 1. Однако стандартная запись теоремы Менелая для точек A₁∈BC, B₁∈AC, C₁∈AB выглядит так: BA₁/A₁C·CB₁/B₁A·AC₁/C₁B=1 (при условии, что либо все три точки лежат на сторонах, что невозможно для биссектрис, либо две на сторонах, одна на продолжении, и мы берем модули, либо учитываем знаки). Давайте аккуратно с модулями, так как задача школьная. Подставим найденные выражения в произведение: BA₁/A₁C·CB₁/B₁A·AC₁/C₁B=(AB/AC)·(BC/AB)·(AC/BC)

Сократим дроби:

Проверка и вывод.

Мы получили, что произведение отношений отрезков, на которые точки A₁, B₁ и C₁ делят стороны треугольника ABC (или их продолжения), равно единице. Согласно обратной теореме Менелая, если точки, лежащие на сторонах треугольника (или их продолжениях), делят эти стороны в отношениях, произведение которых равно 1, то эти точки лежат на одной прямой.

Таким образом, точки A₁, B₁ и C₁ коллинеарны. Что и требовалось доказать.