ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 855: Метод координат в пространстве

План решения.

Для доказательства утверждения пункта а) разобьём четырёхугольник ABCD диагональю AC на два треугольника: ABC и ADC. Прямая KL пересекает стороны треугольника ABC, а прямая MN — стороны треугольника ADC. Точка пересечения (или параллельность) этих двух прямых с диагональю AC будет зависеть от того, как они делят соответствующие стороны. Применим теорему Менелая к каждому из треугольников отдельно, чтобы связать отношения отрезков на сторонах с положением точек пересечения на прямой AC. Аналогично поступим для пункта б), используя диагональ BD и треугольники ABD и BCD.

Вычисление и доказательство (пункт а).

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть прямая KL пересекает сторону AB в точке K, сторону BC в точке L, а продолжение стороны AC (или саму сторону) в точке P. По теореме Менелая для треугольника ABC и секущей KLP справедливо равенство:

Отсюда выразим отношение, связанное с точкой P:

Теперь рассмотрим треугольник ADC. Пусть прямая MN пересекает сторону CD в точке M, сторону DA в точке N, а прямую AC в точке Q. По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей MNQ имеем:

Заметим, что AQ/QC=PA/CP (так как точки A,C,P,Q лежат на одной прямой, а направления векторов или расстояния учитываются со знаком, но в школьном курсе геометрии часто работают с модулями длин, учитывая ориентацию). Более строго, если точка пересечения лежит на отрезке AC, то P=Q. Если прямые KL и MN пересекаются на прямой AC в одной точке, то P совпадает с Q. Это означает, что:

Из второго уравнения Менелая выразим CQ/QA:

Приравниваем выражения для CP/PA и CQ/QA (так как P=Q):

Переносим все множители в одну сторону, умножая обе части на AK/KB·BL/LC·CM/MD·DN/NA:

Упрощая левую часть, получаем просто произведение из условия. Правая часть также сводится к единице после сокращения. Давайте сделаем это аккуратнее. Из равенства CP/PA=CQ/QA следует:

Перевернём дроби в правой части относительно левой или просто перемножим:

Если же прямые KL и MN параллельны AC, то точки P и Q уходят в бесконечность, и отношения CP/PA и CQ/QA стремятся к -1 (с учётом знаков) или мы рассматриваем предельный случай. В стандартной формулировке задачи «пересекаются в одной точке или параллельны» подразумевает, что условие единственности точки пересечения на прямой AC выполняется тогда и только тогда, когда произведение отношений равно 1. Если прямые параллельны AC, то по теореме о пропорциональных отрезках (частный случай Менелая при бесконечно удалённой точке) также выполняется данное равенство.

Доказательство (пункт б).

Аналогично разберём пункт б). Разобьём четырёхугольник диагональю BD на треугольники ABD и BCD. Прямая KN пересекает стороны AB и AD треугольника ABD, а прямая LM пересекает стороны BC и CD треугольника BCD. Пусть точка пересечения KN с BD — R, а LM с BD — S. По теореме Менелая для △ABD и секущей KNR: AK/KB·BR/RD·DN/NA=1impliesBR/RD=KB/AK·NA/DN По теореме Менелая для △BCD и секущей LMS: BL/LC·CS/SB·DM/MC=1impliesCS/SB=LC/BL·MC/DM Прямые KN,LM,BD пересекаются в одной точке, если R=S. Тогда BR/RD=BS/SD. Заметим, что BS/SD=SB/DS. А из предыдущего равенства CS/SB=1-SB/BC.../... проще использовать обратные величины или знаки. В скалярном виде для внутренних точек пересечения: BR/RD=BS/SD. Подставим выражения: KB/AK·NA/DN=SB/SD Но нам нужно связать это с LM. Для △BCD точка S делит BD. Отношение BS/SD связано с CS/SB? Нет, напрямую. Лучше выразить BS/SD через параметры секущей LM. В △BCD секущая L-M-S. Теорема Менелая: BL/LCCM/MDDS/SB=1. Отсюда DS/SB=LC/BLMD/CM, значит SB/DS=BL/LCCM/MD. Приравниваем BR/RD и BS/SD (так как R=S): KB/AK·NA/DN=BL/LC·CM/MD Переносим всё в одну сторону: AK/KB·BL/LC·CM/MD·DN/NA=1 Это то же самое равенство. Таким образом, утверждение доказано.

Проверка.

Логика опирается на фундаментальную теорему Менелая. Ключевой момент — разбиение четырёхугольника на два треугольника общей стороной (диагональю). Условие пересечения трёх прямых (KL,MN,AC) эквивалентно тому, что точки пересечения первых двух с третьей совпадают. Алгебраическое преобразование отношений отрезков подтверждает, что это совпадение возможно тогда и только тогда, когда произведение четырёх заданных отношений равно единице. Случай параллельности является предельным случаем этой конфигурации.