ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 859: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
На стороне BC треугольника ABC отмечены точки A_1 и A_2, симметричные относительно середины стороны BC. На сторонах AC и AB отмечены точки B_1, B_2 и C_1, C_2, симметричные относительно середин этих сторон. Требуется доказать, что отрезки AA_1, BB_1 и CC_1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки AA_2, BB_2 и CC_2 пересекаются в одной точке.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства пересечения трёх отрезков в одной точке внутри треугольника удобно использовать теорему Чевы. Согласно этой теореме, cevians (отрезки, соединяющие вершины с противоположными сторонами) AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство произведений отношений отрезков на сторонах:
BA1/A1C·CB1/B1A·AC1/C1B=1.Аналогично, для отрезков AA2, BB2 и CC2 условием пересечения является равенство:
BA2/A2C·CB2/B2A·AC2/C2B=1.Нам нужно показать эквивалентность этих двух условий, используя симметрию точек относительно середин сторон.
Вычисление и доказательство.
Рассмотрим сторону BC. Пусть Ma — середина стороны BC. По условию точки A1 и A2 симметричны относительно Ma. Это означает, что если расстояние от середины до точки A1 равно x, то расстояние от середины до точки A2 также равно x, но в другую сторону.
Обозначим длину половины стороны BC как a/2. Тогда:
- BMa=MaC=a/2.
- Пусть MaA1=d. Тогда MaA2=d.
Выразим отношения для точки A1:
BA1=BMa-MaA1=a/2-d, A1C=MaC+MaA1=a/2+d.Отношение для первой тройки отрезков по стороне BC:
BA1/A1C=a/2-d/a/2+d.Теперь выразим отношения для точки A2. Так как A2 симметрична A1 относительно середины, она находится на расстоянии d от середины в противоположную сторону. Если мы считаем направление от B к C, то координата A1 смещена влево от центра, а A2 — вправо (или наоборот, главное — они меняются местами относительно центра).
Более строго: пусть координата B=0, C=a, тогда Ma=a/2. Координата A1=a/2-d. Координата A2=a/2+d.
Тогда для A2:
BA2=a/2+d, A2C=a-(a/2+d)=a/2-d.Отношение для второй тройки отрезков по стороне BC:
BA2/A2C=a/2+d/a/2-d.Заметим, что эти два отношения являются взаимно обратными:
BA2/A2C=(BA1/A1C)-1.Аналогичные рассуждения применимы к сторонам AC и AB. Для стороны AC с точками B1 и B2 и серединой Mb будет выполняться:
CB2/B2A=(CB1/B1A)-1.Для стороны AB с точками C1 и C2 и серединой Mc:
AC2/C2B=(AC1/C1B)-1.Подставим эти выражения в условие Чевы для отрезков AA2,BB2,CC2:
BA2/A2C·CB2/B2A·AC2/C2B=(BA1/A1C)-1·(CB1/B1A)-1·(AC1/C1B)-1.Это можно переписать как:
BA2/A2C·CB2/B2A·AC2/C2B=(BA1/A1C·CB1/B1A·AC1/C1B)-1.Проверка и вывод.
Пусть отрезки AA1,BB1,CC1 пересекаются в одной точке. Тогда по теореме Чевы:
BA1/A1C·CB1/B1A·AC1/C1B=1.Следовательно, произведение для второй тройки отрезков равно:
BA2/A2C·CB2/B2A·AC2/C2B=1-1=1.Так как произведение равно 1, то по обратной теореме Чевы отрезки AA2,BB2,CC2 также пересекаются в одной точке.
И наоборот, если пересекаются AA2,BB2,CC2, то их произведение равно 1, значит, произведение для AA1,BB1,CC1 равно 1-1=1, и они тоже пересекаются в одной точке.
Таким образом, утверждение доказано.
Доказано с помощью теоремы Чевы и свойства симметрии точек относительно середин сторон.
В решении использована теорема Чевы. Ключевой момент — установление того, что отношение отрезков, образованных точкой, симметричной данной относительно середины стороны, является обратным к исходному отношению. Произведение трёх таких обратных величин равно единице тогда и только тогда, когда произведение исходных величин равно единице.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 859 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 859?
Краткий ответ: Доказано с помощью теоремы Чевы и свойства симметрии точек относительно середин сторон.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.