ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 856: Метод координат в пространстве

План решения.

Для доказательства того, что три прямые PQ, RS и AC пересекаются в одной точке (или параллельны), удобно рассмотреть треугольник ABC или использовать свойства проекций. Однако более элегантно применить теорему Менелая к треугольнику, образованному диагональю и сторонами четырёхугольника, либо воспользоваться известным фактом о пересечении хорд и секущих. В данном случае ключевым является свойство сторон описанного четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны (AB+CD=BC+DA). Также важно учесть равенства отрезков касательных, проведенных из вершин к точкам касания: AP=AS, BP=BQ, CQ=CR, DR=DS. Мы будем рассматривать треугольник ABC и прямую PQ, а также связь с точками на других сторонах через диагональ AC. Альтернативный и более прямой путь — рассмотреть треугольник ADC и ABC совместно, используя теорему Чевы или Менелая для соответствующих конфигураций. Но так как задача ссылается на результат задачи 855а, предположим, что там было доказано вспомогательное утверждение о коллинеарности или пересечении. Давайте построим строгое доказательство через подобие или теорему Менелая для треугольника, образованного продолжениями сторон.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим треугольник ABC. Прямая PQ соединяет точки касания на сторонах AB и BC. Пусть точка пересечения прямых PQ и AC обозначена через X. Нам нужно доказать, что точка X лежит также на прямой RS. Для этого применим теорему Менелая к треугольнику ABC и секущей P-X-Q? Нет, P и Q лежат на сторонах, а X на продолжении стороны AC. Теорема Менелая для △ABC и прямой PXQ дает:

Отсюда выразим отношение, в котором точка X делит сторону AC (с учетом направления):

Используем свойства касательных к окружности из вершин четырехугольника:

• AP=AS
• BP=BQ
• CQ=CR
• DR=DS

Подставим эти равенства в выражение для CX/XA:

Теперь рассмотрим треугольник ADC и прямую R-S-X′, где X′ — точка пересечения RS с AC. Применим теорему Менелая к △ADC и секущей S-X′-R (где S на AD, R на CD, X′ на AC):

Выразим отношение CX′/X′A:

Заметим, что SD=DR (так как это отрезки касательных из вершины D) и RC=CQ. Тогда:

Сравнивая полученные результаты для X и X′, видим, что:

Так как точка X и точка X′ делят отрезок AC в одном и том же отношении и лежат на прямой AC, то X совпадает с X′. Следовательно, прямые PQ, RS и AC проходят через одну общую точку.

Проверка и выводы.

Если бы прямые были параллельны, то отношения отрезков стремилось бы к бесконечности или нулю, что возможно только в вырожденных случаях (например, если четырехугольник является ромбом, то PQ∥AC и RS∥AC, тогда все три прямые параллельны). В общем случае выпуклого описанного четырехугольника они пересекаются в одной точке. Доказательство опирается исключительно на равенства отрезков касательных и теорему Менелая, что корректно для геометрии 10-11 классов. Результат подтверждает утверждение задачи.