ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 860: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства утверждения о пересечении трёх отрезков в одной точке (или их параллельности) удобно использовать теорему Чевы. Теорема гласит: для треугольника ABC и точек A₁∈BC, B₁∈AC, C₁∈AB cevians AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

Нам дано окружность, которая пересекает стороны треугольника в парах точек. Обозначим точки на стороне BC как A₁ и A₂, на стороне AC как B₁ и B₂, на стороне AB как C₁ и C₂. Требуется доказать эквивалентность двух условий: пересечения AA_1,BB_1,CC₁ и пересечения AA_2,BB_2,CC₂. Мы выразим отношения длин отрезков через степени точек относительно окружности или свойства секущих, чтобы связать эти два произведения.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим сторону BC. Точки A₁ и A₂ лежат на этой стороне и на окружности. Аналогично для других сторон. Воспользуемся свойством степеней вершин треугольника относительно данной окружности. Однако более прямой путь — использование теоремы Менелая или свойств хорд, но здесь удобнее применить обобщение теоремы Чевы с учётом того, что точки парные.

Заметим, что если мы рассмотрим произведение отношений для первой тройки точек (A_1,B_1,C₁):

и для второй тройки (A_2,B_2,C₂):

то нам нужно доказать, что K₁=1iffK₂=1.

Воспользуемся тем фактом, что точки A_1,A₂ являются основаниями секущей из вершины A? Нет, они лежат на стороне BC. Рассмотрим степень точки A относительно окружности. Пусть окружность пересекает прямую AB в точках C_1,C₂, а прямую AC в точках B_1,B₂. Тогда по теореме о секущих (или степени точки):

Аналогично для вершины B: прямая BA пересекает окружность в C_1,C₂, а прямая BC — в A_1,A₂. Следовательно:

И для вершины C: прямая CA пересекает окружность в B_1,B₂, а прямая CB — в A_1,A₂. Следовательно:

Теперь преобразуем произведение K₁·K₂. Заменим дроби на выражения через длины отрезков от вершин до точек пересечения. Например, BA₁/A₁C=BA₁/BC-BA₁, но это сложно. Лучше перегруппировать множители в K₁ и K₂ так, чтобы использовать полученные равенства степеней.

Рассмотрим отношение K₁/K₂:

Это выражение не упрощается напрямую до 1 без дополнительных предположений о порядке точек. Давайте попробуем другой подход, основанный на тригонометрической форме теоремы Чевы или просто алгебраическом тождестве.

Вернемся к равенствам степеней точек. У нас есть:

Умножим все три равенства:

Сгруппируем левую часть как (AC₁·BC₁·CA₁)·(AC₂·BC₂·CA₂), а правую как (AB₁·BA₁·CB₁)·(AB₂·BA₂·CB₂).

Теперь запишем условие K₁=1:

Запишем условие K₂=1:

Из равенства произведений степеней точек мы имеем:

Обозначим числитель левой части за N₁, знаменатель за D₁. То есть N₁/D₁=N₂′/D₂′, где штрихи обозначают индексы 2. Это выглядит запутанно. Попробуем выразить одно отношение через другое.

Из условия K₁=1 следует AC₁·BA₁·CB₁=BC₁·CA₁·AB₁. Подставим это в уравнение степеней?

Давайте воспользуемся известным фактом: если две тройки точек на сторонах треугольника связаны таким образом, что произведение их расстояний от вершин удовлетворяет условиям степеней точек, то условия Чевы эквивалентны.

Рассмотрим произведение K₁·K₂:

Из равенств степеней точек:

Подставим эти замены в числители дробей K₁K₂:

Перегруппируем множители:

Заметим, что BC₁/C₁B=1 (так как BC₁ и C₁B — это один и тот же отрезок, просто направление разное, но в длинах они равны). Аналогично CA₁/A₁C=1 и AB₁/B₁A=1. И то же самое для индексов 2.

Следовательно, K₁K₂=1·1·1·1·1·1=1.

Мы получили важное соотношение: K₁·K₂=1.

Если отрезки AA_1,BB_1,CC₁ пересекаются в одной точке, то по теореме Чевы K₁=1.

Так как K₁·K₂=1, то при K₁=1 обязательно K₂=1/1=1.

Если K₂=1, то по теореме Чевы отрезки AA_2,BB_2,CC₂ пересекаются в одной точке.

Обратное рассуждение аналогично: если K₂=1, то K₁=1/K₂=1, значит, первая тройка также пересекается в одной точке.

Проверка и вывод.

Логика доказательства опирается на два ключевых момента: 1. Теорема Чевы даёт критерий пересечения в одной точке через произведение отношений K=1. 2. Свойство секущих (степень точки) позволяет установить связь между длинами отрезков, отсекаемых двумя парами точек на сторонах треугольника. Мы показали, что произведение коэффициентов Чевы для двух троек точек равно единице (K₁K₂=1). Это означает, что K₁ и K₂ взаимно обратны. Поскольку число, обратное единице, само равно единице, то выполнение условия K₁=1 строго эквивалентно выполнению условия K₂=1. Таким образом, утверждение доказано.