10–11 классы Объём шара и площадь сферы § 4. Объём шара и площадь сферы

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 862: Объём шара и площадь сферы

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Светлана Крылова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 861 863 →

Условие

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) отмечены точки C_1, A_1 и B_1. Требуется доказать, что прямые AA_1, BB_1 и CC_1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

а) выполняется равенство произведений синусов углов: (sin∠ACC₁/sin∠C₁CB)·(sin∠BAA₁/sin∠A₁AC)·(sin∠CBB₁/sin∠B₁BA)=1

б) для любой точки O, не лежащей на прямых AB, BC и CA, выполняется равенство: (sin∠AOC₁/sin∠C₁OB)·(sin∠BOA₁/sin∠A₁OC)·(sin∠COB₁/sin∠B₁OA)=1.

Треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для доказательства пункта а) воспользуемся методом площадей или теоремой синусов для треугольников, образованных cevianами (отрезками AA₁, BB₁, CC₁). Нам нужно связать отношения синусов углов с отношениями длин отрезков на сторонах треугольника. После этого применим теорему Чевы, которая утверждает, что прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда произведение отношений отрезков равно 1. Для пункта б) аналогично выразим отношения синусов через площади треугольников с общей вершиной O и основаниями на сторонах ABC, либо через расстояния от точки O до сторон, сводя задачу к тому же условию Чевы.

Решение пункта а).

Рассмотрим отношение sin∠ACC₁/sin∠C₁CB. Применим теорему синусов к треугольникам ACC₁ и BCC₁. Пусть h_C — высота, опущенная из вершины C на сторону AB. Тогда площадь треугольника ACC₁ равна S_ACC₁=1/2ACsin∠Asin∠ACC₁/sin∠AC₁C? Нет, проще использовать формулу площади через две стороны и угол между ними, но здесь удобнее рассмотреть отношение площадей.

Более стандартный подход: рассмотрим отношение площадей треугольников ACC₁ и BCC₁. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины C к прямой AB. Следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований:

S_ACC₁/S_BCC₁=AC₁/C₁B

С другой стороны, используя формулу площади S=1/2absinγ, запишем:

S_ACC₁=1/2ACsin∠ACC₁sin∠CAC₁/sin∠AC₁C

Это усложняет дело. Вернемся к классическому доказательству тригонометрической формы теоремы Чевы. Рассмотрим треугольник ABC и точку P пересечения AA_1,BB_1,CC₁ (предполагая пока, что они пересекаются, или работая с отношениями напрямую).

Применим теорему синусов к треугольнику ACC₁: AC₁/sin∠ACC₁=AC/sin∠AC₁C. К треугольнику BCC₁: C₁B/sin∠C₁CB=BC/sin∠BC₁C. Заметим, что sin∠AC₁C=sin(180^o-∠BC₁C)=sin∠BC₁C. Разделив первое равенство на второе, получим:

AC₁/C₁B=AC/BCsin∠ACC₁/sin∠C₁CB

Аналогично для других сторон:

BA₁/A₁C=AB/ACsin∠BAA₁/sin∠A₁AC,CB₁/B₁A=BC/ABsin∠CBB₁/sin∠B₁BA

Перемножим эти три равенства:

AC₁/C₁BBA₁/A₁CCB₁/B₁A=AC/BCAB/ACBC/ABsin∠ACC₁/sin∠C₁CBsin∠BAA₁/sin∠A₁ACsin∠CBB₁/sin∠B₁BA

Отношения длин сторон сокращаются (AC/BCAB/ACBC/AB=1), поэтому:

AC₁/C₁BBA₁/A₁CCB₁/B₁A=sin∠ACC₁/sin∠C₁CBsin∠BAA₁/sin∠A₁ACsin∠CBB₁/sin∠B₁BA

По теореме Чевы прямые AA_1,BB_1,CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда левая часть равна 1. Следовательно, правая часть также должна быть равна 1. Это доказывает пункт а).

Решение пункта б).

Пусть точка O не лежит на сторонах треугольника. Рассмотрим отношение sin∠AOC₁/sin∠C₁OB. Запишем площади треугольников AOC₁ и BOC₁ двумя способами. Во-первых, как половину произведения двух сторон на синус угла между ними:

S_AOC₁=1/2OAsin∠AOC_1,S_BOC₁=1/2OBsin∠C₁OB

Во-вторых, если провести высоты из A и B на прямую OC₁ (или использовать проекции), то можно связать эти площади с расстояниями от точек A и B до прямой OC₁. Однако более простой путь — использовать тот факт, что точки A,C_1,B лежат на одной прямой. Отношение площадей треугольников AOC₁ и BOC₁ с общим основанием на прямой AB (вершина O) равно отношению длин отрезков AC₁ и C₁B:

S_AOC₁/S_BOC₁=AC₁/C₁B

Подставив выражения через синусы, получаем:

AC₁/C₁B=1/2OAsin∠AOC₁/1/2OBsin∠C₁OB=OA/OBsin∠AOC₁/sin∠C₁OB

Аналогично для других пар:

BA₁/A₁C=OB/OCsin∠BOA₁/sin∠A₁OC,CB₁/B₁A=OC/OAsin∠COB₁/sin∠B₁OA

Перемножим эти три равенства:

AC₁/C₁BBA₁/A₁CCB₁/B₁A=OA/OBOB/OCOC/OAsin∠AOC₁/sin∠C₁OBsin∠BOA₁/sin∠A₁OCsin∠COB₁/sin∠B₁OA

Произведение OA/OBOB/OCOC/OA=1. Таким образом, мы снова приходим к равенству:

AC₁/C₁BBA₁/A₁CCB₁/B₁A=sin∠AOC₁/sin∠C₁OBsin∠BOA₁/sin∠A₁OCsin∠COB₁/sin∠B₁OA

Так как по пункту а) прямые пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда левая часть равна 1, то и правая часть равна 1 тогда и только тогда, когда выполняется условие пересечения. Утверждение доказано.

Ответ

а) Доказано через связь отношений синусов с отношениями отрезков на сторонах и применение теоремы Чевы.

б) Аналогично, через отношение площадей треугольников с общей вершиной O.

В решении использована тригонометрическая форма теоремы Чевы. Для пункта а) показано, что произведение отношений синусов углов при вершинах равно произведению отношений отрезков на противоположных сторонах. Для пункта б) это произведение выражено через отношения площадей треугольников, образованных точкой O и сторонами треугольника ABC, что приводит к тем же отношениям отрезков.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 862 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 862?

Краткий ответ: а) Доказано через связь отношений синусов с отношениями отрезков на сторонах и применение теоремы Чевы. б) Аналогично, через отношение площадей треугольников с общей вершиной O.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.