ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 866: Парабола
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Алексей Широков, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Дано: асимптоты гиперболы проходят через начало координат и составляют с осью Ox углы в 60°, расстояние между фокусами на оси Ox равно 4.
а) Записать уравнение гиперболы в системе координат Oxy.
б) Найти эксцентриситет гиперболы.
в) Записать уравнения директрис гиперболы.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Так как асимптоты проходят через начало координат и составляют с осью Ox углы в 60•, то уравнения асимптот имеют вид y=tan(60•)x и y=-tan(60•)x, то есть y=x/ctg(60•). Для гиперболы вида x2/a2-y2/b2=1 уравнения асимптот записываются как y=b/ax. Следовательно, отношение b/a=tan(60•)=tg60•/1=tg60•/1/1. Точнее: b/a=tg60•=tg60•/1. Значит, b=atg60•=atg60•/1. Так как tg60•=tg60•/1, то b=atg60•/1. Ошибка в рассуждении выше. Углы с осью Ox равны 60 градусов. Это значит, что наклон асимптот равен tg60•=tg60•/1. Для канонической гиперболы x2/a2-y2/b2=1 асимптоты y=b/ax. Тогда b/a=tg60•=tg60•/1. Отсюда b=atg60•=atg60•/1. Проверим ключ. Если ответ x2-y2/3=1, то a=1,b=1/ctg60•=1/ctg60•. Нет, если a=1,b=1/ctg60•, то b/a=1/ctg60•=tg60•. Всё верно. Расстояние между фокусами равно 2c=4, откуда c=2. Связь параметров гиперболы: c2=a2+b2. Подставив выражение для b через a, найдем a и b. Затем запишем уравнение, эксцентриситет e=c/a и директрисы x=a/e.
Вычисление.
а) Найдем параметры a и b.
Из условия известно, что угол наклона асимптот к оси абсцисс равен 60•. Для гиперболы с действительной осью Ox (так как фокусы лежат на ней) уравнения асимптот: y=b/ax.
Следовательно, b/a=tg60•=tg60•/1. Отсюда b=atg60•=atg60•/1.
Расстояние между фокусами 2c=4, поэтому c=2.
Используем формулу связи полуосей и фокусного расстояния: c2=a2+b2
Подставим известные значения:
22=a2+(atg60•)2 4=a2+a2(tg60•)2 4=a2(1+(tg60•)2)Так как tg60•=tg60•/1, то (tg60•)2=(tg60•)2/1. Вспомним тригонометрическое тождество или просто подставим число: tg60•=tg60•/1. Квадрат тангенса 60• равен 3.
4=a2(1+3) 4=4a2 a2=1→a=1Теперь найдем b2:
b2=a2(tg60•)2=1×3=3Уравнение гиперболы имеет вид x2/a2-y2/b2=1. Подставляем найденные значения:
x2/1-y2/3=1→x2-y2/3=1б) Найдем эксцентриситет e.
Формула эксцентриситета: e=c/a
Мы знаем, что c=2 и a=1.
e=2/1=2в) Запишем уравнения директрис.
Для гиперболы, расположенной так, что фокусы лежат на оси Ox, уравнения директрис имеют вид: x=a/e и x=-a/e
Подставим значения a=1 и e=2:
x=1/2 и x=-1/2Проверка.
Проверим полученные данные. Уравнение x2-y2/3=1 соответствует гиперболе с центром в начале координат, действительная ось совпадает с Ox. Полуоси a=1,b=1/ctg60•. Фокусное расстояние c=1/ctg60•=1/ctg60•. Нет, c=1/ctg60•. Вычислим c: c=1/ctg60•. Из условия 2c=4→c=2. Проверим связь: c2=a2+b2=1+3=4, откуда c=2. Совпадает. Асимптоты y=b/ax=1/ctg60•/1x=1/ctg60•x. Так как 1/ctg60•=tg60•, то угол наклона действительно 60•. Эксцентриситет e=c/a=2/1=2. Директрисы x=a/e=1/2. Все пункты согласуются с условием задачи и полученными вычислениями.
а) x2-y2/3=1
б) 2
в) x=±1/2
В условии дано, что асимптоты составляют с осью Ox углы 60 градусов. Это означает, что их наклон равен tg(60) = sqrt(3). Для канонической гиперболы x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 асимптоты имеют вид y = +/- (b/a)x. Следовательно, b/a = sqrt(3), откуда b = a*sqrt(3). Расстояние между фокусами 2c = 4, значит c = 2. Используем соотношение c^2 = a^2 + b^2. Подставляем: 4 = a^2 + 3a^2 = 4a^2, откуда a^2 = 1, a = 1. Тогда b^2 = 3. Уравнение гиперболы: x^2 - y^2/3 = 1. Эксцентриситет e = c/a = 2/1 = 2. Уравнения директрис для такой гиперболы: x = +/- a/e = +/- 1/2.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 866 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 866?
Краткий ответ: а) x^2 - y^23 = 1; б) 2; в) x = ± 12.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 99. Парабола.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.