ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 868: Парабола

Рассмотрим гиперболу, заданную уравнением y=k/x при k>0. Это так называемая равносторонняя гипербола, оси симметрии которой повернуты на угол 45^° относительно координатных осей. Чтобы найти её эксцентриситет и директрисы, удобно перейти к системе координат, где оси совпадают с осями симметрии данной гиперболы.

Введём поворот координатных осей на угол α=45^°. Формулы перехода от старых координат (x,y) к новым (X,Y) имеют вид: x=Xcos45^°-Ysin45^°=X-Y/2 y=Xsin45^°+Ycos45^°=X+Y/2 Подставим эти выражения в исходное уравнение xy=k: (X-Y/2)(X+Y/2)=k X²-Y²/2=kimpliesX²-Y²=2k Разделим обе части на 2k, чтобы привести уравнение к каноническому виду: X²/2k-Y²/2k=1 Здесь мы видим, что полуоси равны: a²=2k и b²=2k, то есть a=b=2k.

Теперь найдём параметры гиперболы в новой системе координат. 1. Эксцентриситет . Для равносторонней гиперболы (a=b) эксцентриситет вычисляется по формуле e=1+b²/a². Так как a=b, то e=1+1=2. 2. Директрисы . В канонической системе координат (X,Y) уравнения директрис имеют вид X=±a/e. Подставим значения a=2k и e=2: a/e=2k/2=k Таким образом, в системе (X,Y) директрисы задаются уравнениями X=k и X=-k. Чтобы записать ответ в исходных координатах (x,y), выразим X через x и y. Из формул поворота следует обратная связь: X=xcos45^°+ysin45^°=x+y/2. Подставим это выражение в уравнения директрис: Для первой директрисы: x+y/2=kimpliesx+y=2kimpliesx+y-2k=0. Для второй директрисы: x+y/2=-kimpliesx+y=-2kimpliesx+y+2k=0.