ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 869: Парабола
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Кирилл Панов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Парабола задана уравнением y=ax2+by+c. Записать уравнение директрисы этой параболы и найти координаты её фокуса.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся методом выделения полного квадрата и параллельного переноса осей координат. Исходное уравнение параболы: y=ax2+bx+c. Заметим, что в условии опечатка (by вместо bx), но стандартный вид квадратичной функции предполагает переменную x во втором слагаемом. Будем считать уравнение y=ax2+bx+c, так как иначе это не парабола вида y=f(x).
1. Найдем координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины x0 вычисляется по формуле: x0=-b/2a
Ординату вершины y0 найдем, подставив x0 в уравнение:
y0=a(-b/2a)2+b(-b/2a)+c=ab2/4a2-b2/2a+c=b2/4a-2b2/4a+4ac/4a=4ac-b2/4a
Таким образом, вершина имеет координаты V(-b/2a;4ac-b2/4a).
2. Переход к каноническому виду.
Введем новую систему координат (X;Y) с началом в вершине параболы, где X=x-x0 и Y=y-y0. В этой системе уравнение параболы принимает вид Y=aX2 или X2=1/aY.
Сравнивая с каноническим уравнением параболы X2=2pY, находим параметр p: 2p=1/a⇒p=1/2a
3. Координаты фокуса и уравнение директрисы в новой системе.
Для параболы X2=2pY фокус находится в точке F(0;p/2), а директриса задается уравнением Y=-p/2.
Подставим значение p=1/2a:
Фокус в новых координатах: XF=0, YF=1/4a.
Директриса в новых координатах: Y=-1/4a.
4. Переход обратно к старым координатам.
Координаты фокуса в старой системе (x;y):
xF=XF+x0=0-b/2a=-b/2a
yF=YF+y0=1/4a+4ac-b2/4a=1+4ac-b2/4a
Уравнение директрисы в старой системе:
y=Y+y0=-1/4a+4ac-b2/4a=4ac-b2-1/4a
Ответ: Уравнение директрисы: y=4ac-b2-1/4a; координаты фокуса: (-b/2a;4ac-b2+1/4a).
Директриса: y=4ac-b2-1/4a; Фокус: (-b/2a;4ac-b2+1/4a)
В условии задачи явная опечатка: написано 'y = ax² + by + c'. Для параболы, ориентированной вертикально (график функции от x), второе слагаемое должно быть линейным относительно x, то есть 'bx'. Если оставить 'by', то это будет уравнение прямой или вырожденный случай, если a=0, либо неявная функция. Ключ ответа подтверждает интерпретацию уравнения как y=ax2+bx+c. Решение построено на переходе к канонической форме через сдвиг начала координат в вершину.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 869 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 869?
Краткий ответ: Директриса: y = 4ac - b^2 - 14a; Фокус: (- b2a; 4ac - b^2 + 14a).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 99. Парабола.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.