ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 867: Парабола
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Исследовать взаимное расположение эллипса x^2/9+y2/4 = 1 и гиперболы y=2\sqrt{2} / x.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для исследования взаимного расположения двух кривых необходимо найти их общие точки. Это сводится к решению системы уравнений, состоящей из уравнения эллипса и уравнения гиперболы.
Запишем систему:
{x2/9+y2/4=1y=22/xПодставим выражение для y из второго уравнения в первое. Заметим, что y2=(22/x)2=8/x2.
Получаем уравнение относительно x:
x2/9+1/4·8/x2=1 x2/9+2/x2=1Умножим обе части уравнения на 9x2 (при условии x≠0, что верно для гиперболы):
nx4+18=9x2 nx4-9x2+18=0Введём замену переменной t=x2, где t>0. Получаем квадратное уравнение:
nt2-9t+18=0По теореме Виета или через дискриминант находим корни:
nD=(-9)2-4·1·18=81-72=9 nt1=9-3/2=3, t2=9+3/2=6Оба корня положительны, значит, оба подходят. Вернёмся к переменной x:
- Если x2=3, то x=±3.
- При x=3: y=22/3=26/3=22/3. Точка (3;22/3).
- При x=-3: y=22/-3=-22/3. Точка (-3;-22/3).
- Если x2=6, то x=±6.
- При x=6: y=22/6=22/2·3=2/3=23/3. Точка (6;2/3).
- При x=-6: y=22/-6=-2/3. Точка (-6;-2/3).
Таким образом, система имеет четыре решения, что означает пересечение эллипса и гиперболы в четырёх точках.
Пересекаются в четырёх точках: (-6;-2/3), (-3;-22/3), (3;22/3), (6;2/3).
Решение сведено к биквадратному уравнению после подстановки. Проверка корней показала, что оба значения x2 дают допустимые действительные корни для x. Координаты точек вычислены точно.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 867 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 867?
Краткий ответ: Пересекаются в четырёх точках: (-√6; - 2√3), (-√3; -2 23), (√3; 2 23), (√6; 2√3).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 99. Парабола.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.