ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 870: Парабола

План решения:

Для исследования взаимного расположения двух кривых необходимо составить систему их уравнений и проанализировать количество решений. Уравнение параболы задано как y=x². Уравнение окружности с центром в точке (0;R) и радиусом R имеет вид x²+(y-R)²=R². Нам нужно найти общие точки этих фигур, подставив выражение для x² из первого уравнения во второе, а затем исследовать полученное квадратное уравнение относительно y в зависимости от параметра R.

Вычисление:

Раскроем скобки в уравнении окружности: x²+y²-2Ry+R²=R² Упрощаем, сокращая R² с обеих сторон: x²+y²-2Ry=0 Так как на параболе x²=y, заменим x² на y в последнем уравнении: y+y²-2Ry=0 Сгруппируем слагаемые: y²+(1-2R)y=0 Вынесем y за скобки: y(y+1-2R)=0 Отсюда получаем два возможных значения для координаты y точек пересечения: 1) y₁=0 2) y₂=2R-1 Теперь найдем соответствующие координаты x, используя уравнение параболы x²=y. Случай 1: y₁=0 x²=0⇒x=0. Это дает точку пересечения (0;0) при любом R>0.

Случай 2: y₂=2R-1 Чтобы эта точка существовала в действительных числах, необходимо выполнение условия y₂≥0, так как x² не может быть отрицательным. 2R-1≥0⇒R≥1/2 Если R<1/2, то y₂<0, и реальных корней для x нет. В этом случае единственная общая точка — (0;0). Если R=1/2, то y₂=0, что совпадает с первым случаем. Тогда x²=0⇒x=0. Получаем одну общую точку (0;0). Так как корни совпадают, это означает касание.

Если R>1/2, то y₂>0. Найдем x: x²=2R-1⇒x=±2R-1 Это дает две дополнительные точки пересечения: (-2R-1;2R-1) и (2R-1;2R-1).

Проверка и вывод:

Рассмотрим геометрию ситуации. Окружность проходит через начало координат (0;0), так как расстояние от центра (0;R) до начала координат равно R. Парабола также проходит через (0;0). Касательная к параболе в начале координат горизонтальна (y′=2x|_x=0=0). Касательная к окружности в нижней точке (0;0) также горизонтальна. Следовательно, они всегда имеют общий касательный элемент в нуле. При малых R (R<1/2) окружность лежит «внутри» кривизны параболы вблизи нуля и больше нигде не пересекает её. При R=1/2 радиус кривизны параболы в вершине равен 1/(2a)=1/2. Окружность точно повторяет кривизну параболы в окрестности нуля, но так как мы нашли только одно решение системы (с учетом кратности), они касаются. При R>1/2 окружность становится более пологой, чем парабола вблизи вершины, поэтому она выходит наружу и пересекает ветви параболы в двух симметричных точках выше оси абсцисс.