ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 865: Парабола
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Павел Лебедев, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Исследовать взаимное расположение эллипса x^2/16+y2/4 = 1 и
а) окружности радиуса \sqrt{7} с центром в начале координат
б) окружности радиуса 2 с центром в точке (2; 0).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для исследования взаимного расположения кривых необходимо решить систему уравнений, составленную из их канонических форм. Количество решений системы определяет количество точек пересечения. Если система не имеет решений, кривые не пересекаются; если одно решение — касаются или имеют одну общую точку; если несколько — пересекаются в соответствующем числе точек.
а) Эллипс и окружность радиуса 7 с центром в начале координат.
Уравнение эллипса: x2/16+y2/4=1. Уравнение окружности: x2+y2=(7)2⇒x2+y2=7.
Выразим y2 из уравнения окружности: y2=7-x2. Подставим это выражение в уравнение эллипса:
x2/16+7-x2/4=1Умножим обе части на 16 для избавления от знаменателей:
x2+4(7-x2)=16 x2+28-4x2=16 -3x2=16-28 -3x2=-12⇒x2=4⇒x=±2Найдём соответствующие значения y. При x2=4 имеем y2=7-4=3, откуда y=±3.
Таким образом, получаем четыре точки пересечения: (2;3),(2;-3),(-2;3),(-2;-3).
Проверка: Подставим точку (2;3) в исходные уравнения. Эллипс: 4/16+3/4=1/4+3/4=1 (верно). Окружность: 22+(3)2=4+3=7 (верно).
б) Эллипс и окружность радиуса 2 с центром в точке (2;0).
Уравнение эллипса: x2/16+y2/4=1. Уравнение окружности: (x-2)2+y2=22⇒(x-2)2+y2=4.
Из уравнения окружности выразим y2: y2=4-(x-2)2. Подставим в уравнение эллипса:
x2/16+4-(x-2)2/4=1Умножим на 16:
x2+4[4-(x-2)2]=16 x2+16-4(x2-4x+4)=16 x2+16-4x2+16x-16=16 -3x2+16x-16=0 3x2-16x+16=0Решим квадратное уравнение относительно x. Дискриминант: D=(-16)2-4·3·16=256-192=64 Корни: x1=16+8/6=24/6=4 x2=16-8/6=8/6=4/3
Найдём y для каждого корня. 1) При x=4: y2=4-(4-2)2=4-4=0⇒y=0. Точка (4;0). 2) При x=4/3: y2=4-(4/3-2)2=4-(-2/3)2=4-4/9=32/9. Отсюда y=±32/9=±42/3. Точки (4/3;42/3) и (4/3;-42/3).
Итак, мы нашли три общие точки. В точке (4;0) кривые касаются (так как это правая вершина эллипса и правая точка окружности, лежащая на оси симметрии), а в двух других точках они пересекаются трансверсально.
Проверка: Для точки (4/3;42/3): Эллипс: (4/3)2/16+(42/3)2/4=16/9/16+32/9/4=1/9+8/9=1 (верно). Окружность: (4/3-2)2+(42/3)2=(-2/3)2+32/9=4/9+32/9=36/9=4 (верно).
а) Пересекаются в четырёх точках: (±2;±3)
б) Касаются в точке (4;0) и пересекаются в точках (4/3;±42/3).
В пункте а) система сводится к линейному относительно квадратов переменных, что даёт 4 решения. В пункте б) получается квадратное уравнение, дающее два значения x. Одно значение x=4 соответствует единственному y=0 (касание), другое x=4/3 даёт два значения y (пересечение).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 865 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 865?
Краткий ответ: а) Пересекаются в четырёх точках: (± 2; ± √3); б) Касаются в точке (4; 0) и пересекаются в точках ( 43; ± 4√23).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 99. Парабола.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.