ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 854: Метод координат в пространстве

План решения.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC. Пусть M — середина AD, N — середина BC. Обозначим точку пересечения диагоналей через O, а точку пересечения продолжений боковых сторон AB и CD через P. Нам нужно доказать, что точки M,N,O,P лежат на одной прямой. Для этого воспользуемся теоремой Менелая дважды: сначала для треугольника, образованного боковой стороной и основанием, чтобы связать точку P с серединой одного основания, затем аналогично для другого основания или используя свойства подобия и центральную проекцию. Однако более стандартный путь через Менелая: рассмотреть △PAD и секущую прямую, проходящую через B и C (так как BC∥AD), но это не совсем то. Лучше рассмотреть △PBC и секущую AD? Нет, A,D не лежат на сторонах △PBC. Давайте выберем правильный подход согласно ключу: «Дважды используя теорему Менелая». Рассмотрим △ABD и прямую, проходящую через точки P,B,A? Нет, они коллинеарны по определению. Воспользуемся следующим методом: 1. Рассмотрим △PAD. Прямая BC пересекает стороны PA в точке B, сторону PD в точке C и продолжение стороны AD... нет, BC параллельна AD. Теорема Менелая применима к треугольнику и секущей, пересекающей все три стороны (или их продолжения). 2. Рассмотрим △PAB? Нет. Стандартное доказательство через Менелая: Пусть прямая PO пересекает основание AD в точке M′ и основание BC в точке N′. Докажем, что M′ — середина AD, а N′ — середина BC. Рассмотрим △PAD. Точки B,C лежат на сторонах PA,PD соответственно. Но нам нужна связь с диагоналями. Лучше так: Рассмотрим △ABC и секущую прямую D-O-? Нет. Вернемся к классической схеме: Пусть P — точка пересечения боковых сторон. O — точка пересечения диагоналей. Рассмотрим △PBC. Прямая AD параллельна основанию BC. Это не дает Менелая напрямую для точек на сторонах. Используем свойство гармонического деления или просто подобие, но задача требует Менелая. Рассмотрим △ABD. Секущая прямая проходит через P (продолжение AB), O (диагональ BD) и M (сторона AD)? Нет, P,O,M должны быть коллинеарны. Давайте применим теорему Менелая к △PAD с секущей B-C-? Нет. Применим теорему Менелая к △ABM? Нет. Самый надежный путь через Менелая для этой задачи: 1. Рассмотрим △PBC. Прямая AD не является секущей, она параллельна. 2. Рассмотрим △AOB и △COD? Попробуем другой угол зрения. Пусть прямая PO пересекает AD в M₁ и BC в N₁. Нужно доказать AM₁=M₁D и BN₁=N₁C. Рассмотрим △PAD. Точка B лежит на стороне PA, точка C на стороне PD. Диагонали AC и BD пересекаются в O. Прямая PO пересекает AD в M₁. Это сложная конфигурация. Упростим. Воспользуемся тем фактом, что BC∥AD. Рассмотрим △PBC и △PAD. Они подобны. Применим теорему Менелая к △ABD с секущей P-O-M₁? Нет, P не лежит на сторонах △ABD. Ключ говорит: «Дважды используя теорему Менелая». Обычно это делается так: 1. Рассматриваем △ABC и секущую D-O-? Нет. 2. Рассматриваем △ADC и секущую B-O-? Нет. Давайте рассмотрим △PAB и секущую D-C-? Нет. Правильное применение: Рассмотрим △PAD. Пусть M — середина AD. Докажем, что P,M,O коллинеарны? Или наоборот. Возьмем △ABD. Секущая прямая проходит через P (на продолжении AB), O (на BD) и K (на AD). Если мы докажем, что K — середина AD, то всё сойдется. Но P,O,K коллинеарны только если K лежит на прямой PO. Мы хотим доказать, что прямая PO проходит через середину. Значит, пусть прямая PO пересекает AD в точке M. Применим теорему Менелая к △ABD с секущей P-O-M. Точки P,O,M лежат на одной прямой. P лежит на продолжении стороны AB, O лежит на стороне BD, M лежит на стороне AD. По теореме Менелая для △ABD: AP/PB·BO/OD·DM/MA=1 (Здесь отрезки считаются направленными или берем модули длин, учитывая расположение точек. P вне отрезка AB, O внутри BD, M внутри AD). Нам нужно выразить отношения AP/PB и BO/OD. Из подобия △PBC∼△PAD (так как BC∥AD): PB/PA=BC/AD Отсюда AP/PB=AD/BC Из подобия △BOC∼△DOA (так как BC∥AD): BO/OD=BC/AD Подставим эти значения в формулу Менелая: AD/BC·BC/AD·DM/MA=1 1·DM/MA=1impliesDM=MA Таким образом, точка M пересечения прямой PO с основанием AD является серединой AD. 3. Теперь аналогично докажем для второго основания BC. Пусть прямая PO пересекает BC в точке N. Применим теорему Менелая к △ABC с секущей P-O-N? Нет, P лежит на продолжении AB, O на AC? Нет, O на BD. В △ABC диагональ BD не является стороной. Нужно выбрать треугольник так, чтобы секущая проходила через вершины или стороны корректно. Рассмотрим △ABC. Секущая должна проходить через P (на продолжении AB), O (внутри?) и N (на BC). Но O не лежит на стороне AC или BC. O лежит на диагонали AC? Да, O — точка пересечения диагоналей, значит O лежит на AC. Тогда для △ABC секущая P-O-N пересекает: - продолжение стороны AB в точке P, - сторону AC в точке O, - сторону BC в точке N. По теореме Менелая для △ABC: AP/PB·BN/NC·CO/OA=1 Выразим отношения: 1. AP/PB=AD/BC (из подобия △PBC∼△PAD, как выше). 2. CO/OA. Из подобия △BOC∼△DOA: CO/OA=BC/AD. Подставим в формулу: AD/BC·BN/NC·BC/AD=1 1·BN/NC=1impliesBN=NC Таким образом, точка N является серединой BC. 4. Вывод. Мы доказали, что прямая, проходящая через P и O, пересекает основание AD в его середине M и основание BC в его середине N. Следовательно, точки P,O,M,N лежат на одной прямой.