ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 844: Теорема о биссектрисе треугольника

План решения.

Для доказательства равенства S_LMN/S_ABC=r/2R (где r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности) разобьём треугольник LMN на три части: △LOM, △MON и △NOL, где O — центр вписанной окружности. Мы выразим площади этих малых треугольников через стороны большого треугольника ABC и углы при его вершинах, а затем воспользуемся известными формулами связи площадей с радиусами r и R.

Вычисление.

Пусть стороны треугольника ABC равны a=BC, b=AC, c=AB. Точки касания L,M,N лежат на сторонах c,b,a соответственно. Рассмотрим треугольник LOM. Его площадь можно найти как половину произведения двух сторон на синус угла между ними: S_LOM=1/2OL·OMsin(∠LOM). Так как OL=OM=r, то S_LOM=1/2r²sin(∠LOM). Угол ∠LOM является центральным углом, опирающимся на дугу LM. В четырёхугольнике ALOM углы при точках касания L и M прямые (90^°), поэтому сумма углов ∠A и ∠LOM равна 180^°. Следовательно, ∠LOM=180^°-A, и sin(∠LOM)=sin(180^°-A)=sinA. Аналогично для других двух треугольников: S_MON=1/2r²sinB, S_NOL=1/2r²sinC. Тогда полная площадь треугольника LMN равна сумме этих площадей: S_LMN=1/2r²(sinA+sinB+sinC).

Теперь выразим площадь исходного треугольника ABC. Известно, что S_ABC=abc/4R. Также по теореме синусов a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC. Подставим это в формулу площади: S_ABC=(2RsinA)(2RsinB)(2RsinC)/4R=2R²sinAsinBsinC. Однако нам удобнее использовать другую связь. Воспользуемся формулой S_ABC=pr, где p — полупериметр. Но более прямой путь к искомому отношению лежит через выражение сумм синусов. Вспомним формулу для площади треугольника через радиус описанной окружности и углы: S_ABC=2R²sinAsinBsinC не совсем удобна для деления. Попробуем другой подход, используя указание из задачи про отношение площадей. Давайте найдем отношение S_LMN/S_ABC напрямую, подставив известные тождества. Известно тождество: sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2. Также известно, что r=4RsinA/2sinB/2sinC/2. И площадь S_ABC=2R²sinAsinBsinC. Это может усложнить алгебру. Вернемся к базовым определениям. Рассмотрим отношение S_LOM/S_ABC. S_LOM=1/2r²sinA. S_ABC=1/2bcsinA. Тогда S_LOM/S_ABC=1/2r²sinA/1/2bcsinA=r²/bc. Аналогично: S_MON/S_ABC=r²/ac, S_NOL/S_ABC=r²/ab. Суммируя эти отношения, получаем: S_LMN/S_ABC=r²(1/bc+1/ac+1/ab)=r²a+b+c/abc. Заметим, что a+b+c=2p, а abc=4RS_ABC. Также S_ABC=pr, откуда p=S_ABC/r. Подставим abc=4R·S_ABC и a+b+c=2p: S_LMN/S_ABC=r²2p/4RS_ABC. Так как S_ABC=pr, то p=S_ABC/r. Подставим p: S_LMN/S_ABC=r²2S_ABC/r/4RS_ABC=r²2S_ABC/r·4RS_ABC=2r²S_ABC/4RrS_ABC=r/2R. Диаметр описанной окружности равен D=2R. Таким образом, отношение равно r/D.

Проверка.

Размерности совпадают: отношение площадей безразмерно, отношение длины к длине также безразмерно. Для равностороннего треугольника со стороной a: r=a3/6, R=a3/3. Отношение r/2R=a3/6/2a3/3=1/6/2/3=1/4. Площадь S_ABC=a²3/4. Треугольник LMN соединяет середины сторон, его площадь равна 1/4S_ABC. Отношение действительно 1/4. Доказательство корректно.