10–11 классы Теорема о биссектрисе треугольника § 91. Теорема о биссектрисе треугольника

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 839: Теорема о биссектрисе треугольника

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Татьяна Белова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 838 840 →

Условие

Докажите, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведённой к третьей стороне, на диаметр описанной окружности.

Треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План доказательства.

Рассмотрим треугольник ABC со сторонами a,b,c. Пусть h_c — высота, проведённая к стороне c, а R — радиус описанной окружности. Нам нужно доказать равенство ab=h_c·2R, то есть произведение двух сторон равно произведению высоты на диаметр (d=2R).

Вычисление и вывод формул.

Вспомним две основные формулы для площади треугольника S:

Через основание и высоту: S=1/2ch_c
Через стороны и радиус описанной окружности (формула из п. 92): S=abc/4R

Приравняем правые части этих выражений, так как они равны одной и той же площади S:

1/2ch_c=abc/4R

Умножим обе части уравнения на 4R, чтобы избавиться от знаменателя справа:

2Rch_c=abc

Разделим обе части на сторону c (так как c≠0):

2Rh_c=ab

Заметим, что 2R — это диаметр описанной окружности d. Таким образом, мы получили:

ab=h_c·d

Проверка и заключение.

Мы выразили произведение двух сторон a и b через высоту h_c, опущенную на третью сторону c, и диаметр описанной окружности d. Равенство получено строго алгебраически из известных формул площади. Утверждение доказано.

Ответ

Доказательство приведено в решении.

Использованы стандартные формулы площади треугольника. Ключевым шагом является приравнивание двух выражений для площади и сокращение общей стороны.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 839 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 839?

Краткий ответ: Доказательство приведено в решении.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 91. Теорема о биссектрисе треугольника.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.