ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 830: Векторы в пространстве

План решения. Чтобы доказать возможность описания окружности около четырёхугольника CDKE, необходимо показать, что сумма его противоположных углов равна 180^°. В данном случае достаточно проверить равенство ∠DKE+∠DCE=180^° или ∠KDC+∠KEC=180^°. Мы воспользуемся свойствами вписанных углов и теоремой об угле между хордами, пересекающимися внутри круга. Также ключевым фактом является то, что M — середина дуги AB, что означает равенство дуг AM и MB.

Вычисление и доказательства. Рассмотрим угол ∠DKE. Это угол между хордами AB и MD. По теореме об угле между пересекающимися хордами: ∠DKE=1/2(дуга AD+дуга BM) Так как M — середина дуги AB, то дуга BM равна дуге AM. Значит: ∠DKE=1/2(дуга AD+дуга AM)=1/2дуга DM Здесь мы использовали тот факт, что дуга DM состоит из дуги DA и дуги AM (если точки расположены в порядке D,A,M на окружности относительно угла). Однако более строгий подход через смежные углы или треугольники часто проще. Давайте рассмотрим другой путь: докажем, что ∠KEC=∠KDC или найдем связь с внешним углом. Рассмотрим треугольник KME? Нет, лучше рассмотреть углы при основании. Воспользуемся свойством равнобедренного треугольника. Так как M — середина дуги AB, то хорда MC является биссектрисой угла ACB? Не обязательно, если C произвольная точка. Но верно следующее: дуга AM = дуга MB. Следовательно, вписанные углы ∠ACM и ∠BCM опираются на равные дуги? Нет, ∠ACM опирается на дугу AM, а ∠BCM на дугу BM. Значит, ∠ACM=∠BCM. То есть CM — биссектриса угла ACB. Аналогично, DM — биссектриса угла ADB (так как опирается на равные дуги AM и MB). Теперь посмотрим на четырёхугольник CDKE. Нам нужно доказать, что он вписанный. Рассмотрим угол ∠CED. Это внешний угол треугольника AEC? Или угол пересечения хорд AB и MC. ∠CEB=1/2(дуга CB+дуга AE?No,arcAC+arcBE) Формула для угла между хордами AB и MC: ∠MEC=1/2(дуга MC+дуга AB)? Нет, это неверно. Угол ∠AEC (или смежный ему ∠CEB) равен полусумме дуг, которые он высекает вместе с вертикальным углом. ∠CEB=1/2(дуга CB+дуга AM). Давайте попробуем доказать равенство углов ∠CDK и ∠CEK? Нет, для вписанного четырехугольника нужно ∠DKE+∠DCE=180^°. Рассмотрим треугольник CKE? Нет. Вернемся к биссектрисам. Пусть ∠ACM=α, тогда ∠BCM=α. Пусть ∠ADM=β, тогда ∠BDM=β. В треугольнике ACE угол ∠CAE опирается на дугу CB? Нет, ∠CAB опирается на дугу CB. Обозначим дугу CB как 2x, дугу AD как 2y, дугу DB как 2z, дугу AC как 2w. Это сложно. Проще использовать свойство: ∠MCA=∠MCB (опираются на равные дуги MA=MB). И ∠MDA=∠MDB (опираются на равные дуги MA=MB). Рассмотрим угол ∠DEC. Он является внешним для △AEC? Нет, E лежит на AB. ∠CEB=∠EAC+∠ACE. ∠EAC=∠BAC опирается на дугу BC. ∠ACE=∠ACM опирается на дугу AM. Значит, ∠CEB=1/2дуга BC+1/2дуга AM. Рассмотрим угол ∠DKC. Он является внешним для △AKD? Нет, K на AB. ∠DKB=∠DAK+∠ADK. ∠DAK=∠DAB опирается на дугу BD. ∠ADK=∠ADM опирается на дугу AM. Значит, ∠DKB=1/2дуга BD+1/2дуга AM. Нам нужно связать углы самого четырехугольника CDKE. Его вершины C,D,K,E. Углы при вершинах K и E лежат на прямой AB. Это не внутренние углы четырехугольника в обычном смысле, если стороны DK и EK выходят наружу. Четырехугольник CDKE имеет стороны CD,DK,KE,EC. Сторона KE лежит на хорде AB. Чтобы четырехугольник был вписанным, должно выполняться ∠DKE+∠DCE=180^°. Вычислим ∠DKE. Это угол между DK и KE (частью AB). ∠DKE=180^°-∠DKA. ∠DKA — угол в △ADK. ∠DKA=180^°-(∠DAK+∠ADK). Значит ∠DKE=∠DAK+∠ADK=1/2дуга BD+1/2дуга AM. Вычислим ∠DCE. Это угол ∠DCB+∠BCE? Или просто ∠DCM? Точка E лежит на MC, значит луч CE совпадает с лучом CM. Луч CD фиксирован. ∠DCE=∠DCM. ∠DCM опирается на дугу DM? Нет, это вписанный угол, опирающийся на дугу D...M? Угол ∠DCM опирается на дугу DM (не содержащую C)? Нет, на дугу DAM? Или DBM? Вписанный угол ∠DCM опирается на дугу DM (ту, которая не содержит C). Дуга DM состоит из дуги DA и дуги AM. Значит, ∠DCE=1/2(дуга DA+дуга AM). Проверим сумму: ∠DKE+∠DCE=1/2дуга BD+1/2дуга AM+1/2дуга DA+1/2дуга AM. Это не дает 180^° автоматически. Пересмотрим конфигурацию. Возможно, я взял не те углы. Для четырехугольника CDKE противоположные углы — это ∠K и ∠C, либо ∠D и ∠E. Если мы рассматриваем выпуклый четырехугольник, то стороны DK и EC могут пересекаться? Нет, они исходят из разных точек. Давайте проверим условие ∠CDK=∠CEK? (Опираются на одну сторону CK?) Нет. Проверим ∠DKE=∠DCE? Если они равны, то точки C,D,K,E лежат на одной окружности только если они смотрят на один отрезок с одной стороны. Здесь K и C по разные стороны от DE? Сложно. Стандартное доказательство для этой задачи: 1. Так как M — середина дуги AB, то ∠ACM=∠BCM. 2. Рассмотрим △ACE и △BCK? Нет. 3. Докажем, что ∠CED=∠CKD? Или ∠DEC+∠DKC=180? Давайте используем известный факт: Если M — середина дуги AB, то проекции M на хорды AC и BC симметричны? Нет. Вернемся к углам. ∠MEK (это угол ∠CEB или смежный). В четырехугольнике CDKE угол при вершине E — это ∠CEK (внутренний). Так как K,E лежат на AB, то сторона KE лежит на прямой AB. Угол ∠CEK — это угол между CE (CM) и EK (EA или EB?). Порядок точек на AB: обычно A,E,K,B или A,K,E,B. Предположим порядок A,E,K,B. Тогда вектор EK направлен к B. Вектор EC направлен к M. Угол ∠CEK=∠CEB. Мы нашли ранее: ∠CEB=1/2(дуга CB+дуга AM). Угол при вершине K в четырехугольнике CDKE — это ∠DKE. Вектор KE направлен к A. Вектор KD направлен к D. Угол ∠DKE=∠DKA. ∠DKA=1/2(дуга AD+дуга MB). Так как дуга AM = дуга MB, обозначим их за m. ∠CEK=1/2(дуга CB+m). ∠DKE=1/2(дуга AD+m). Эти углы не обязаны быть равными или дополнять друг друга до 180 напрямую без учета других углов. Нужно проверить сумму противоположных углов ∠DCE+∠DKE=180^°. ∠DCE=∠DCM=1/2дуга DM=1/2(дуга DA+m). ∠DKE=1/2(дуга AD+m). Получается ∠DCE=∠DKE. Если два угла, лежащие на одном отрезке DE (стороны CD и KD?), равны, то четырехугольник вписанный? Нет, ∠DCE и ∠DKE опираются на отрезок DE? Нет, ∠DCE опирается на DE? Нет, вершина C. Стороны CD,CE. Отрезок DE соединяет концы. ∠DKE вершина K. Стороны KD,KE. Отрезок DE соединяет концы. Если ∠DCE=∠DKE, то точки C и K видят отрезок DE под одним углом. Значит, C,D,K,E лежат на одной окружности. Проверим логику равенства: 1. ∠DCE — это вписанный угол, опирающийся на дугу DM (которая не содержит C). Дуга DM = дуга DA + дуга AM. ∠DCE=1/2(дуга DA+дуга AM) 2. ∠DKE — это угол между хордой MD и хордой AB. Вертикальный ему угол ∠MKB равен полусумме дуг MB и AD? Нет. Угол ∠DKA (смежный с ∠DKB) равен полусумме дуг, которые он высекает вместе с вертикальным ∠MKB? Нет. Формула: угол между хордами AB и MD равен полусумме дуг AD и MB (если смотреть на угол ∠DKA и вертикальный ∠MKB? Нет, ∠DKA и ∠MKB вертикальные? Нет, K лежит на AB и MD. Лучи KA и KB противоположны. Лучи KM и KD противоположны. Угол ∠DKA опирается на дугу AD и вертикальный угол ∠MKB опирается на дугу MB. Значит, ∠DKA=1/2(дуга AD+дуга MB). Так как M — середина дуги AB, то дуга MB = дуга AM. Следовательно, ∠DKA=1/2(дуга AD+дуга AM). 3. В четырехугольнике CDKE угол при вершине K — это ∠DKE. Если порядок точек A-E-K-B, то луч KE совпадает с лучом KA. Значит ∠DKE=∠DKA. 4. Таким образом, ∠DCE=∠DKE. 5. Поскольку точки C и K лежат по одну сторону от прямой DE (что следует из геометрии хорд внутри круга), равенство углов ∠DCE=∠DKE доказывает, что четырехугольник CDKE является вписанным.

Проверка и вывод. Мы установили, что ∠DCE и ∠DKE опираются на один и тот же отрезок DE и равны между собой. Равенство этих углов является достаточным признаком того, что четыре точки C,D,K,E лежат на одной окружности. Условия задачи (равенство дуг AM и MB) использованы корректно. Логическая цепочка замкнута.