ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 827: Векторы в пространстве

План решения.

Для доказательства утверждения воспользуемся свойствами вписанных углов и теоремой Пифагора. Обозначим вершины четырёхугольника как A,B,C,D, а центр описанной окружности — как O. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке M под прямым углом (AC⊥BD). Нам нужно доказать равенство: AB²+CD²=AD²+BC²=(2R)², где R — радиус описанной окружности, а 2R — её диаметр.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим треугольник ABM. Так как диагонали перпендикулярны, то ∠AMB=90^°. По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника имеем:

Аналогично рассмотрим треугольник CDM. Угол ∠CMD также равен 90^° (как вертикальный к ∠AMB или смежный с ним, если рассматривать другие пары углов при пересечении, но суть одна — все четыре угла при пересечении прямых равны 90^°). Тогда:

Сложим эти два равенства:

Теперь проделаем то же самое для другой пары противоположных сторон AD и BC. В прямоугольном треугольнике ADM (∠AMD=90^°):

В прямоугольном треугольнике BCM (∠BMC=90^°):

Суммируя их, получаем:

Мы видим, что правые части выражений для AB²+CD² и AD²+BC² идентичны. Следовательно, суммы квадратов противоположных сторон равны между собой:

Осталось показать, что эта сумма равна квадрату диаметра. Проведём диаметр DK, проходящий через точку D. Соединим точки K и C, а также K и A. Так как DK — диаметр, то угол ∠DCK опирается на диаметр и является прямым (90^°). Аналогично, ∠DAK=90^°.

Заметим, что дуги AD и KC могут быть связаны через параллельность хорд или свойства углов. Более простой путь: используем свойство ортоцентра или векторный метод, но в школьной геометрии часто применяют следующий приём. Рассмотрим треугольник KCD. Он прямоугольный (∠KCD=90^°), поэтому KD²=KC²+CD². Но нам нужно связать это со сторонами исходного четырёхугольника.

Давайте используем более стандартное геометрическое рассуждение. Пусть H — точка пересечения диагоналей. Известно, что для ортодиагонального вписанного четырёхугольника расстояние от центра до стороны равно половине противоположной стороны? Нет, это свойство другого типа. Вернёмся к сумме квадратов. Проведём диаметр BE. Соединим E с C и E с D. Треугольник BCE прямоуголен (∠BCE=90^°), значит BE²=BC²+CE². Треугольник BDE прямоуголен (∠BDE=90^°), значит BE²=BD²+DE²? Нет, гипотенуза BE. Значит BE²=BD²+DE² неверно, так как угол при D не обязательно прямой в треугольнике BDE, если мы соединили B,D,E. Угол ∠BDE опирается на диаметр BE, да, он прямой. Тогда BE²=BD²+DE² — ошибка, катеты BD и DE? Нет, BD — хорда, DE — хорда. Гипотенуза BE. Катеты BD и DE образуют прямой угол только если D лежит на окружности и BE диаметр. Да, ∠BDE=90^°. Значит BE²=BD²+DE²? Нет, в треугольнике BDE стороны BD,DE,BE. Если ∠BDE=90, то BE²=BD²+DE². Это верно. Но нам нужны стороны AB,BC,CD,DA. Исправим подход. Используем формулу длины хорды через синус угла. Пусть ∠ABD=α, ∠ADB=β. В △ABD: AB=2Rsinβ, AD=2Rsinα. Так как AC⊥BD, то в △ABM (M — пересечение) ∠BAM=90^°-α. Угол ∠BAC=∠BAM=90^°-α. Этот угол опирается на дугу BC. Значит, хорда BC=2Rsin(∠BAC)=2Rsin(90^°-α)=2Rcosα. Аналогично, угол ∠CAD опирается на дугу CD. В △ADM угол ∠DAM=90^°-β. Значит ∠CAD=90^°-β. Хорда CD=2Rsin(∠CAD)=2Rsin(90^°-β)=2Rcosβ. Теперь вычислим сумму квадратов: AB²+CD²=(2Rsinβ)²+(2Rcosβ)²=4R²(sin²β+cos²β)=4R². Так как диаметр d=2R, то d²=4R². Таким образом, AB²+CD²=d². Проверим вторую пару: AD²+BC²=(2Rsinα)²+(2Rcosα)²=4R²(sin²α+cos²α)=4R²=d².

Проверка и вывод.

Мы показали, что сумма квадратов одной пары противоположных сторон (AB и CD) равна квадрату диаметра описанной окружности. Аналогично, сумма квадратов второй пары (AD и BC) также равна квадрату диаметра. Следовательно, утверждение доказано: если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.