ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 809: метод координат

План решения.

Данная задача является классической на вычисление объёма тела, образованного пересечением двух равных круговых цилиндров. Оси цилиндров пересекаются под прямым углом и проходят через центр общего сечения. Поскольку высоты цилиндров больше их диаметров (2R), а точка пересечения осей равноудалена от оснований, то общая часть представляет собой полное тело Штейнметца (биконическое тело или «крест»), ограниченное поверхностями обоих цилиндров. Нам нужно найти объём этого тела при радиусе R=1 см.

Вычисление.

Введём декартову систему координат так, чтобы ось одного цилиндра совпадала с осью Ox, а ось другого — с осью Oy. Тогда уравнения поверхностей цилиндров будут:

Общая часть удовлетворяет обоим неравенствам. Рассмотрим поперечное сечение этого тела плоскостью, параллельной оси Oz и проходящей через точку (x_0,y₀) в плоскости Oxy. Однако удобнее использовать метод горизонтальных сечений (параллельно плоскости Oxy) или интегрирование по квадратам.

Более простой способ для школьного курса геометрии — рассмотреть сечение тела плоскостью, перпендикулярной одной из осей, например, плоскостью z=const. Но стандартный вывод формулы объёма биконического тела использует интегрирование площади квадратного сечения.

Рассмотрим сечение общей части плоскостью, проходящей через ось Oz перпендикулярно ей? Нет, давайте возьмём сечение плоскостью z=h. При фиксированном z (|z|≤R) условия x²≤R²-z² и y²≤R²-z² означают, что сечение является квадратом со стороной a(z)=2R²-z². Площадь такого сечения:

Теперь проинтегрируем эту площадь по переменной z от -R до R, чтобы получить полный объём:

Так как функция чётная, можно удвоить интеграл от 0 до R:

Подставим значение радиуса R=1 см:

Проверка.

Формула V=16/3R³ является известным результатом для объёма пересечения двух равных цилиндров (тело Штейнметца). При R=1 получаем 16/3≈5.33 см³. Сравним с объёмом одного цилиндра радиуса 1 и высоты 2 (так как высота больше диаметра, но мы берем только общую часть, которая ограничена диаметром): V_cyl=πR²H=π·1²·2=2π≈6.28 см³. Объём пересечения должен быть меньше объёма каждого из цилиндров, что и выполняется (5.33<6.28). Также объём шара радиуса 1 равен 4/3π≈4.19 см³. Тело пересечения цилиндров содержит шар радиуса R внутри себя (так как x²+y²+z²≤R² следует из x²+z²≤R² и y²+z²≤R²? Не совсем, но геометрически тело пересечения «пухлее» шара). Действительно, 16/3>4π/3 (5.33>4.19), что согласуется с геометрической интуицией. Ответ верен.