ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 810: производная

План решения.

Для нахождения угла α, при котором объём конуса минимален, необходимо выразить объём через этот угол и радиус шара. Так как шар описан около конуса (вписан в него), осевое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса R (радиус шара). Угол при вершине этого треугольника равен α. Мы выразим высоту конуса H и радиус основания r через R и α, запишем формулу объёма V(α) и найдём её минимум с помощью производной.

Вычисление.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с углом при вершине α. Проведём биссектрису из вершины к основанию. Она является высотой конуса H и медианой. В прямоугольном треугольнике, образованном половиной основания, высотой и боковой стороной, угол при вершине равен α/2. Центр вписанной окружности (шара) лежит на высоте H. Расстояние от центра шара до вершины конуса равно d=R/sin(α/2). Высота конуса складывается из расстояния от вершины до центра шара и радиуса шара: H=d+R=R/sin(α/2)+R=R(1+sin(α/2)/sin(α/2)) Радиус основания конуса r можно найти из того же прямоугольного треугольника осевого сечения. Центр шара удалён от боковой стороны на расстояние R. Рассмотрим треугольник, образованный центром шара, точкой касания на боковой стороне и вершиной конуса. Или проще: в прямоугольном треугольнике с углом α/2 при вершине, катет r связан с гипотенузой (боковой стороной) или с высотой. Используем связь через тангенс угла α/2 для половины осевого сечения, но учтём положение центра. Более удобный способ: рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром шара O, точкой касания K на боковой стороне и вершиной S. OK=R, OS=R/sin(α/2). Тогда проекция OS на ось конуса даёт часть высоты. Но нам нужен радиус основания r. Из прямоугольного треугольника с углом α/2 при вершине S: tan(α/2)=r/H. Отсюда r=Htan(α/2). Подставим выражение для H: r=R(1+sin(α/2)/sin(α/2))·sin(α/2)/cos(α/2)=R1+sin(α/2)/cos(α/2) Объём конуса: V=1/3πr²H=1/3π(R1+sin(α/2)/cos(α/2))²·R(1+sin(α/2)/sin(α/2)) Упростим выражение, обозначив x=α/2. Тогда 0<x<π/2. V(x)=πR³/3·(1+sinx)²/cos²x·1+sinx/sinx=πR³/3·(1+sinx)³/sinxcos²x Так как cos²x=1-sin²x=(1-sinx)(1+sinx), то: V(x)=πR³/3·(1+sinx)³/sinx(1-sinx)(1+sinx)=πR³/3·(1+sinx)²/sinx(1-sinx) Пусть t=sinx, где t∈(0,1). Функция для минимизации: f(t)=(1+t)²/t(1-t)=1+2t+t²/t-t² Найдём производную f′(t): f′(t)=(2+2t)(t-t²)-(1+2t+t²)(1-2t)/(t-t²)² Числитель: (2+2t)(t-t²)=2t-2t²+2t²-2t³=2t-2t³ (1+2t+t²)(1-2t)=1-2t+2t-4t²+t²-2t³=1-3t²-2t³ Разность числителей: (2t-2t³)-(1-3t²-2t³)=2t-2t³-1+3t²+2t³=3t²+2t-1 Приравниваем производную к нулю: 3t²+2t-1=0 Корни уравнения: D=4-4(3)(-1)=16 t₁=-2+4/6=2/6=1/3, t₂=-2-4/6=-1 Так как t=sinx>0, единственный критический корень t=1/3. Проверка знаков производной показывает, что это точка минимума. Итак, sin(α/2)=1/3. Отсюда α/2=arcsin(1/3), значит α=2arcsin(1/3).

Проверка.

Значение sin(α/2)=1/3 соответствует углу α/2≈19.5^°, тогда α≈39^°. Это разумное значение для конуса, описанного около шара (обычно конусы бывают более вытянутыми или широкими, но математически оптимум существует). Если бы угол был меньше, конус был бы слишком высоким и тонким, если больше — слишком плоским. Полученный ответ совпадает с ориентировочным ключом.