ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 806

План решения:

Для доказательства того, что объём тетраэдра ABCD постоянен, необходимо проанализировать формулу объёма пирамиды: V=1/3S_осн h. В качестве основания тетраэдра удобно выбрать треугольник ABC, лежащий в плоскости, проходящей через прямую с отрезком AB и точку C. Тогда высота тетраэдра будет равна расстоянию от вершины D до этой плоскости. Нам нужно показать, что площадь основания не зависит от выбора точки C, а высота не зависит от выбора точки D.

Вычисление и обоснование:

Рассмотрим основание тетраэдра — треугольник ABC. Его основанием является фиксированный отрезок AB, длина которого постоянна по условию задачи. Высота этого треугольника, опущенная из вершины C на прямую AB, равна расстоянию между двумя параллельными прямыми (прямой, содержащей AB, и прямой, содержащей точку C). Поскольку расстояние между параллельными прямыми постоянно, то и высота треугольника ABC не меняется при перемещении точки C вдоль своей прямой. Следовательно, площадь основания S_ABC=1/2AB·h_ABC является величиной постоянной.

Теперь рассмотрим высоту тетраэдра H, опущенную из вершины D на плоскость основания ABC. Эта плоскость проходит через две параллельные прямые: одну, содержащую отрезок AB, и другую, содержащую точку C. По условию, третья прямая, на которой лежит точка D, параллельна этим двум прямым. Если прямая параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна всей этой плоскости. Значит, прямая, содержащая точку D, параллельна плоскости ABC. Расстояние от любой точки прямой до параллельной ей плоскости постоянно. Таким образом, высота тетраэдра H не зависит от положения точки D на своей прямой.

Проверка и вывод:

Объём тетраэдра вычисляется по формуле V_ABCD=1/3S_ABCH. Мы доказали, что S_ABC — константа (так как зависит только от длины AB и расстояния между первой и второй параллельными прямыми), а H — константа (так как зависит только от расстояния между третьей параллельной прямой и плоскостью первых двух). Произведение констант есть константа. Следовательно, объём тетраэдра действительно не зависит от конкретного выбора точек C и D на соответствующих прямых.