ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 803: векторы

План доказательства.

Для вычисления объёма тетраэдра ABCD с заданными параметрами противоположных рёбер a и b, углом β между ними и расстоянием h (в условии обозначено как c), удобно использовать метод дополнения до параллелепипеда. Мы можем достроить данный тетраэдр до параллелепипеда так, чтобы его ребра стали диагоналями граней этого параллелепипеда. Объём тетраэдра составляет часть от объёма полученного параллелепипеда. Далее выразим объём параллелепипеда через площади проекций или векторное произведение, связав его с данными величинами a,b,β,h.

Вычисление.

Рассмотрим тетраэдр ABCD. Пусть |AB|=a, |CD|=b. Угол между скрещивающимися прямыми AB и CD равен β (в условии β=sinβ в формуле, но обычно угол обозначают β, а синус стоит в формуле; здесь в условии сказано "угол ... β", а в формуле sinβ, значит β — это угол). Расстояние между прямыми AB и CD равно h (в условии c).

Достроим тетраэдр до параллелепипеда AC₁BD₁CA₁B₁D. В таком параллелепипеде ребра тетраэдра являются диагоналями граней. Однако более простой путь для школьного курса геометрии — использование формулы объёма через площадь основания и высоту, либо векторный метод.

Воспользуемся известным фактом: объём тетраэдра можно найти как одну шестую произведения длин двух противоположных рёбер на расстояние между ними и на синус угла между этими рёбрами.

Докажем это через координаты или векторы. Пусть вектор u направлен вдоль ребра AB, |u|=a. Вектор v направлен вдоль ребра CD, |v|=b. Угол между u и v равен β. Расстояние между прямыми равно h.

Объём тетраэдра выражается формулой: V=1/6|(AB×AC)·AD| Это сложно применять напрямую без координат. Рассмотрим геометрический смысл. Проецируем тетраэдр на плоскость, перпендикулярную общему перпендикуляру к рёбрам AB и CD. Длина общего перпендикуляра равна h. Если мы возьмем за основание треугольник, образованный одним из рёбер и общим перпендикуляром, то высота будет связана с другим ребром.

Более строгий вывод через параллелепипед:

Пусть мы построили параллелепипед, у которого три грани, выходящие из одной вершины, имеют стороны, параллельные рёбрам тетраэдра. Но стандартная задача решается так:

Рассмотрим тетраэдр ABCD. Пусть M и N — середины рёбер AB и CD. Отрезок MN является общим перпендикуляром к этим рёбрам, и |MN|=h.

Разобьём тетраэдр на два пирамиды с общей высотой? Нет, лучше использовать формулу объёма через смешанное произведение векторов.

Выберем систему координат так, чтобы общий перпендикуляр лежал на оси Oz. Тогда прямые AB и CD параллельны плоскости xOy. Пусть AB лежит в плоскости z=h/2, а CD в плоскости z=-h/2 (для симметрии, хотя это не обязательно, главное разность высот h).

Вектор AB имеет длину a и лежит в плоскости xy. Вектор CD имеет длину b и лежит в плоскости xy. Угол между их направлениями равен β.

Объём тетраэдра равен 1/6 модуля смешанного произведения трёх векторов, исходящих из одной вершины, например AB,AC,AD.

Заметим, что AC=AM+MC. Это усложняет дело.

Используем другой подход. Площадь проекции тетраэдра на плоскость, перпендикулярную общему перпендикуляру... нет.

Вернемся к классическому доказательству через достраивание до параллелепипеда.

Если достроить тетраэдр до параллелепипеда так, что рёбра тетраэдра будут диагоналями граней параллелепипеда, то объём тетраэдра равен 1/3 объёма такого параллелепипеда? Нет, для тетраэдра, образованного диагоналями граней одного угла параллелепипеда, объём равен 1/6 объёма параллелепипеда.

Но в нашем случае a и b — противоположные рёбра. Рассмотрим параллелепипед, у которого ребра параллельны векторам AB, CD и общему перпендикуляру n. Это не совсем параллелепипед, так как эти векторы не исходят из одной точки.

Существует теорема: Объём тетраэдра равен 1/6abhsinβ.

Доказательство:

Пусть S_ABC — площадь грани ABC. Высота из D к этой грани равна H_D. Тогда V=1/3S_ABCH_D.

Это трудно связать с a,b,h,β.

Лучше рассмотреть тетраэдр как сумму двух пирамид с основанием, проходящим через общий перпендикуляр?

Рассмотрим плоскость, проходящую через ребро AB и параллельную ребру CD. Расстояние от любой точки ребра CD до этой плоскости равно h (так как CD параллельна плоскости, а расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется по общему перпендикуляру, который перпендикулярен обеим прямым, значит он перпендикулярен и плоскости, содержащей одну из них и параллельной другой).

Тогда объём тетраэдра ABCD равен объёму пирамиды с основанием ABK (где K — точка на CD) и высотой h? Нет.

Формула объёма пирамиды: V=1/3S_baseH.

Возьмём за основание треугольник ABE, где E — проекция CD на плоскость, перпендикулярную AB? Нет.

Возьмём за основание треугольник ABF, где F — конец общего перпендикуляра на CD? Нет.

Рассмотрим тетраэдр ABCD. Пусть P — проекция CD на плоскость, проходящую через AB и параллельную CD. Тогда CD проецируется в отрезок C′D′, параллельный CD и равный ему по длине? Нет, если плоскость параллельна CD, то проекция CD на эту плоскость равна самой CD только если она лежит в ней. Здесь CD вне плоскости.

Давайте используем векторное произведение.

V=1/6|(AB×AC)·AD|.

Представим AC=AO+OC и т.д. Неудобно.

Известный факт: V=1/6abhsinβ.

Докажем через координаты.

Пусть общий перпендикуляр к AB и CD лежит на оси Oz. Его длина h. Пусть середина перпендикуляра — начало координат O(0,0,0).

Тогда прямая AB проходит через точку (0,0,h/2) и параллельна вектору u=(1,0,0) (выберем ось x вдоль AB). Тогда координаты концов A(-a/2,0,h/2) и B(a/2,0,h/2).

Прямая CD проходит через точку (0,0,-h/2) и параллельна вектору v=(cosβ,sinβ,0). Координаты концов C и D: пусть середина CD совпадает с проекцией начала координат на прямую CD (это возможно сделать выбором начала координат вдоль прямой CD, так как нас интересует только относительное положение). Тогда C(-b/2cosβ,-b/2sinβ,-h/2) и D(b/2cosβ,b/2sinβ,-h/2).

Найдём объём тетраэдра ABCD.

Векторы из вершины A:

AB=(a,0,0).

AC=(-b/2cosβ+a/2,-b/2sinβ,-h).

AD=(b/2cosβ+a/2,b/2sinβ,-h).

Смешанное произведение [AB,AC,AD]:

Определитель матрицы:

a00x_Cy_Cz_Cx_Dy_Dz_D

Где x_C=a-bcosβ/2,y_C=-bsinβ/2,z_C=-h.

x_D=a+bcosβ/2,y_D=bsinβ/2,z_D=-h.

Раскрываем по первой строке:

V_mix=a·(y_Cz_D-z_Cy_D)

y_Cz_D=(-bsinβ/2)·(-h)=bhsinβ/2

z_Cy_D=(-h)·(bsinβ/2)=-bhsinβ/2

y_Cz_D-z_Cy_D=bhsinβ/2-(-bhsinβ/2)=bhsinβ

Тогда смешанное произведение равно a·bhsinβ=abhsinβ.

Объём тетраэдра равен 1/6 модуля смешанного произведения:

V=1/6abhsinβ

Подставляя обозначения из условия (h=c), получаем:

V=1/6abcsinβ

Проверка.

Размерности совпадают: [L]·[L]·[L]=[L³]. Синус безразмерен. Формула верна для частного случая прямоугольного тетраэдра, где рёбра взаимно перпендикулярны (β=90^°,sinβ=1) и пересекаются в одной вершине? Нет, здесь рёбра противоположные. Если взять правильный тетраэдр со стороной s, то a=s,b=s. Угол между противоположными рёбрами правильного тетраэдра равен 90^° (sinβ=1). Расстояние между ними h=s/2. Формула даёт V=1/6s·s·s/2·1=s³/62=s³2/12. Это известная формула объёма правильного тетраэдра. Проверка успешна.