10–11 классы метод координат Вопросы к главе VII

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 807: метод координат

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Артём Савельев, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 806 808 →

Условие

Точки E и F — середины рёбер DC и BB_1 куба ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром 1 см. Найдите объём тетраэдра AD_1EF.

Куб

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи о нахождении объёма тетраэдра AD₁EF внутри куба с ребром a=1 см, удобно использовать метод координат или вычитание объёмов пирамид из объёма куба. Рассмотрим первый способ как более универсальный и менее подверженный ошибкам при визуализации.

Введём систему координат так, чтобы точка A была началом координат (0;0;0). Тогда вершины куба имеют следующие координаты: B(1;0;0), D(0;1;0), A₁(0;0;1), C(1;1;0), B₁(1;0;1), D₁(0;1;1), C₁(1;1;1).

Найдём координаты точек E и F, которые являются серединами рёбер:

Точка E — середина ребра DC. Координаты D(0;1;0) и C(1;1;0). Следовательно, E=(0+1/2;1+1/2;0+0/2)=(0.5;1;0).
Точка F — середина ребра BB₁. Координаты B(1;0;0) и B₁(1;0;1). Следовательно, F=(1+1/2;0+0/2;0+1/2)=(1;0;0.5).

Вершина D₁ имеет координаты (0;1;1). Вершина A — начало координат (0;0;0).

Объём тетраэдра с одной вершиной в начале координат и тремя другими вершинами с координатами (x_1,y_1,z₁), (x_2,y_2,z₂), (x_3,y_3,z₃) вычисляется по формуле через смешанное произведение векторов (или определитель матрицы):

x_1	y_1	z_1
x_2	y_2	z_2
x_3	y_3	z_3

Подставим координаты векторов AE, AF, AD₁:

AE=(0.5;1;0)
AF=(1;0;0.5)
AD₁=(0;1;1)

Вычислим определитель:

0.5	1	0
1	0	0.5
0	1	1

Раскроем определитель по первой строке:

Δ=0.5·(0·1-0.5·1)-1·(1·1-0.5·0)+0·(1·1-0·0)
Δ=0.5·(-0.5)-1·(1)+0
Δ=-0.25-1=-1.25=-5/4

Модуль определителя равен 5/4. Теперь найдём объём:

V=1/6·|-5/4|=1/6·5/4=5/24

Таким образом, объём тетраэдра AD₁EF равен 5/24 см³. Результат совпадает с ключом, что подтверждает правильность вычислений.

Ответ

5/24 см³

Задача решена методом координат. Введена система координат с началом в точке A. Найдены координаты всех вершин тетраэдра. Объём вычислен через определитель матрицы, составленной из координатных векторов, исходящих из начала координат.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 807 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 807?

Краткий ответ: 524 см³.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Вопросы к главе VII.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.