ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 805: параллелограмм

План решения. Для нахождения отношения объёмов удобно использовать метод сечения или разложения пирамиды на более простые части. Обозначим основание параллелограммом ABCD, а вершину пирамиды — точкой O. Плоскость проходит через ребро AB и среднюю линию грани OCD. Пусть эта средняя линия соединяет середины рёбер OC и OD. Назовём эти точки M и N соответственно. Тогда секущая плоскость содержит прямую AB и отрезок MN. Нам нужно найти отношение объёма части пирамиды, содержащей вершину O, к объёму всей пирамиды (или наоборот, в зависимости от формулировки «в каком отношении делит», обычно подразумевается отношение меньшего к большему или частей друг к другу). Рассмотрим многогранник ABNM, который является частью исходной пирамиды OABCD.

Вычисление. Пирамида OABCD имеет основание ABCD и высоту H, опущенную из O на плоскость основания. Объём всей пирамиды равен V=1/3S_ABCDH. Рассмотрим часть пирамиды, отсекаемую плоскостью ABNM, которая содержит вершину O. Это многогранник с основанием ABNM? Нет, удобнее рассмотреть его как усечённую пирамиду или сумму пирамид. Однако есть более простой путь: сравним объём пирамиды O-ABNM (если бы это была пирамида) с исходной. Но ABNM не лежит в одной плоскости с основанием. Давайте разобьём исходную пирамиду OABCD на две равные треугольные пирамиды диагональю AC: OABC и OADC. Их объёмы равны V/2. Теперь рассмотрим сечение в пирамиде OADC. Плоскость проходит через A (вершина основания первой пирамиды?) Нет, плоскость проходит через AB. Точка A принадлежит основанию ABCD. Точки M и N — середины OC и OD. Рассмотрим пирамиду O-ACD. Её объём V₁=V/2. Секущая плоскость пересекает эту пирамиду по треугольнику AMN? Нет, плоскость проходит через AB. В пирамиде O-ACD точка B не участвует напрямую, но AB — это сторона основания. Перейдём к координатному методу или векторному для строгости. Пусть S_ABCD=S. Высота h. Объём пирамиды V=1/3Sh. Секущая плоскость делит пирамиду на два тела: 1. Тело, содержащее вершину O. Это пирамида O-ABNM? Нет, это многогранник с вершинами O,A,B,M,N. Основание этого многогранника можно считать треугольником OAB? Нет. Рассмотрим тело O-ABNM. Его можно представить как разность двух пирамид или сумму. Более простой подход: рассмотрим пирамиду O-ABCD. Проведём плоскость через AB и середину высоты грани OCD? Нет, через среднюю линию MN. Заметим, что MN∥CD и MN=1/2CD. Так как ABCD — параллелограмм, то AB∥CD и AB=CD. Следовательно, MN∥AB. Таким образом, сечение ABNM является трапецией. Нам нужно найти объём пирамиды O-ABNM? Нет, тело с вершиной O и основанием ABNM не является стандартной пирамидой, так как O не проецируется внутрь ABNM простым образом, но это конусообразное тело с вершиной O и основанием ABNM? Да, если мы рассматриваем пирамиду с вершиной O и основанием ABNM, то её объём вычисляется как сумма объёмов O-ABM и O-BMN? Или проще: объём пирамиды с вершиной O и основанием ABNM равен 1/3S_ABNMh′, где h′ — расстояние от O до плоскости ABNM. Это сложно. Используем свойство подобия или отношения высот. Рассмотрим пирамиду O-ABCD. Разобьём её на три тетраэдра: O-ABC, O-ACD. В тетраэдре O-ACD плоскость проходит через A и отрезок MN (M середина OC, N середина OD). Объём тетраэдра O-AMN? Вершины O,A,M,N. M и N лежат на рёбрах OC и OD. Треугольник OMN подобен треугольнику OCD с коэффициентом 1/2. Площадь S_OMN=1/4S_OCD. Высота тетраэдра A-OMN (с основанием OMN) равна расстоянию от A до плоскости OCD. Это неудобно. Сравним объём V(O-AMN) с объёмом V(O-ACD). V(O-ACD)=1/6|[OA,OC,OD]|. V(O-AMN)=1/6|[OA,OM,ON]|. Так как OM=1/2OC и ON=1/2OD, то смешанное произведение уменьшится в 1/2·1/2=1/4 раз. Значит, V(O-AMN)=1/4V(O-ACD). Аналогично для второй половины пирамиды O-ABC. Плоскость проходит через B и... подождите, плоскость проходит через всю прямую AB. Значит, она рассекает обе половины. Рассмотрим вторую половину O-ABC. В ней есть точки M (середина OC) и... где вторая точка на стороне BC? Нет, средняя линия грани OCD — это только MN. Грани OCD одна. Ребро AB общее. Плоскость ABNM рассекает пирамиду OABCD на две части. Часть 1: Содержит вершину O. Это многогранник O-ABNM. Его можно разбить на два тетраэдра: O-ABM и O-BMN? Или O-AMN и O-ABN? Разобьём многогранник O-ABNM на два тетраэдра: T₁=O-ABM и T₂=O-BMN? Нет, они перекрываются или не покрывают всё. Лучше разбить на O-AMN и O-ABN? Нет. Разобьём исходную пирамиду OABCD на два тетраэдра диагональю BD: O-ABD и O-CBD. Это тоже сложно, так как M,N связаны с C,D. Вернёмся к разбиению на O-ACD и O-ABC. В тетраэдре O-ACD сечение проходит через A,M,N. Отсекается тетраэдр O-AMN. Мы нашли, что V(O-AMN)=1/4V(O-ACD). Оставшаяся часть тетраэдра O-ACD — это многогранник ACDNM (пирамида с основанием ACD и вершиной... нет, это усечённая пирамида или сложная фигура). Но нам нужно отношение объёмов двух частей всей пирамиды. Часть пирамиды, содержащая вершину O, состоит из тетраэдра O-AMN и ещё чего-то? Нет, вершина O входит в состав обоих тетраэдров O-ACD и O-ABC. Плоскость ABNM проходит через AB. Значит, в тетраэдре O-ABC плоскость проходит через ребро AB и точку M (середину OC)? Нет, M лежит на OC, которое является общим ребром для граней OCD и OBC? Нет, OC — ребро пирамиды. Грань OCD содержит OC и OD. Средняя линия MN соединяет середины OC и OD. Значит, M лежит на ребре OC. В тетраэдре O-ABC плоскость проходит через ребро AB и точку M на ребре OC. Она рассекает этот тетраэдр на два тетраэдра: O-ABM и C-ABM. Объём V(O-ABM): основание OAB, высота из M к плоскости OAB? Или проще: сравним с V(O-ABC). V(O-ABC)=1/6|[OA,OB,OC]|. V(O-ABM)=1/6|[OA,OB,OM]|. Так как OM=1/2OC, то V(O-ABM)=1/2V(O-ABC). Итак, часть объёма со стороны вершины O в этом тетраэдре равна половине объёма O-ABC. Теперь посмотрим на тетраэдр O-ACD. Плоскость проходит через A и отрезок MN. M на OC, N на OD. Отсекается ли здесь часть, содержащая O? Да, это тетраэдр O-AMN. Мы уже посчитали: V(O-AMN)=1/4V(O-ACD). Общий объём части пирамиды, содержащей вершину O, равен сумме этих двух объёмов: V_O=V(O-ABM)+V(O-AMN) Так как V(O-ABC)=V(O-ACD)=1/2V_total, обозначим V_half=1/2V_total. V_O=1/2V_half+1/4V_half=3/4V_half=3/4·1/2V_total=3/8V_total Объём оставшейся части (без вершины O): V_rest=V_total-V_O=V_total-3/8V_total=5/8V_total Отношение объёмов частей: V_O/V_rest=3/8/5/8=3/5 Либо наоборот, если спрашивают «в каком отношении делит», часто имеют в виду отношение меньшей части к большей или просто числа. Обычно записывают как 3:5.

Проверка. Проверим логику для тетраэдра O-ABC. Плоскость проходит через AB и M (середину OC). Она делит ребро OC пополам. Любая плоскость, проходящая через ребро тетраэдра (AB) и делящая противоположное ребро (OC) в отношении k:m, делит объём тетраэдра в том же отношении k:m. Здесь OM:MC=1:1, значит объёмы V(O-ABM) и V(C-ABM) равны. То есть V(O-ABM)=1/2V(O-ABC). Верно. Для тетраэдра O-ACD. Плоскость проходит через вершину A и отрезок MN, где M,N — середины OC,OD. Это эквивалентно тому, что плоскость проходит через A и параллельна CD? Нет, MN∥CD. Расстояние от O до плоскости AMN меньше, чем до ACD. Коэффициент подобия тетраэдров O-AMN и O-ACD по рёбрам OC,OD равен 1/2. По третьему измерению (высоте из A к плоскости OCD) высота та же? Нет, основание OMN лежит в той же плоскости, что и OCD? Да, M,N на рёбрах, исходящих из O. Плоскость OCD содержит O,C,D. Точки M,N лежат в этой плоскости. Значит, тетраэдры O-AMN и O-ACD имеют общую высоту из вершины A к плоскости основания OCD. Площади оснований относятся как (1/2)²=1/4. Значит, объёмы относятся как 1:4. V(O-AMN)=1/4V(O-ACD). Верно. Суммарный объём части с вершиной O: 1/2·V/2+1/4·V/2=V/4+V/8=3V/8. Остальная часть: 5V/8. Отношение 3:5.