ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 798
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Ольга Кузнецова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В тетраэдр с высотами h_1, h_2, h_3, h_4 вписан шар радиуса R. Докажите, что 1/R=1/h1+1/h2+1/h3+1/h_4.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства равенства 1/R=1/h1+1/h2+1/h3+1/h4 воспользуемся методом разбиения объёма тетраэдра. Центр вписанного шара O равноудалён от всех граней на расстояние R. Соединив центр O с вершинами тетраэдра, мы разобьём исходный тетраэдр на четыре меньших пирамиды, основаниями которых служат грани исходного тетраэдра, а высотами — радиусы вписанного шара R. Объём всего тетраэдра можно выразить двумя способами: через его полную высоту и площадь соответствующей грани, а также как сумму объёмов этих четырёх малых пирамид.
Вычисление.
Обозначим площади граней тетраэдра против вершин A1,A2,A3,A4 как S1,S2,S3,S4, а соответствующие им высоты (проведённые из этих вершин к противоположным граням) как h1,h2,h3,h4. 1. Выразим объём тетраэдра V через каждую пару «площадь грани — высота к ней»: V=1/3S1h1=1/3S2h2=1/3S3h3=1/3S4h4 Отсюда выразим площади граней: S1=3V/h1, S2=3V/h2, S3=3V/h3, S4=3V/h4 2. Теперь представим объём тетраэдра как сумму объёмов четырёх пирамид с общей вершиной в центре шара O и основаниями, совпадающими с гранями тетраэдра. Высота каждой такой пирамиды равна радиусу вписанного шара R. V=VO-A2A3A4+VO-A1A3A4+VO-A1A2A4+VO-A1A2A3 V=1/3S1R+1/3S2R+1/3S3R+1/3S4R V=R/3(S1+S2+S3+S4) 3. Подставим выражения для площадей Si через объём V и высоты hi в полученную формулу: V=R/3(3V/h1+3V/h2+3V/h3+3V/h4) 4. Упростим правую часть, вынеся общий множитель 3V за скобки: V=R/3·3V(1/h1+1/h2+1/h3+1/h4) V=RV(1/h1+1/h2+1/h3+1/h4) 5. Так как объём тетраэдра V≠0, мы можем разделить обе части равенства на V: 1=R(1/h1+1/h2+1/h3+1/h4) Разделим теперь обе части на R (R>0): 1/R=1/h1+1/h2+1/h3+1/h4
Проверка.
Рассмотрим частный случай правильного тетраэдра со стороной a. В правильном тетраэдре все высоты равны: h1=h2=h3=h4=h. Формула для высоты правильного тетраэдра: h=a2/3. Радиус вписанного шара правильного тетраэдра: R=a6/12. Заметим, что h=4R (центр тяжести делит медиану/высоту в отношении 3:1 от вершины, но для вписанного шара в правильном тетраэдре связь проще: R=h/4). Подставим в левую часть доказываемой формулы: 1/R=4/h. Подставим в правую часть: 1/h+1/h+1/h+1/h=4/h. Левая часть равна правой, что подтверждает верность вывода для частного случая. Логика метода разбиения объёма является универсальной для любого выпуклого многогранника с вписанной сферой, поэтому доказательство корректно.
Доказано: 1/R=∑4i=11/hi
Использован метод сравнения объёмов. Ключевой момент — представление объёма тетраэдра как суммы объёмов четырёх пирамид с вершиной в центре вписанного шара.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 798 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 798?
Краткий ответ: Доказано: 1R = _i=1^4 1h_i.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Вопросы к главе VII.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.